問題
平面上の3点，，と1次変換について，下の3条件(A)，(B)，(C)を仮定する．
(A) ，，は同一直線上にはなく，また原点は三角形の内部には属さない．
(B) 3点，，のによる像は，全体として，3点，，に一致する，すなわち
(C) は恒等変換ではない，すなわち
このとき，3点，，のうちによって動かないものは，1つあって，1つに限ることを示せ．
方針
が3点を入れ替える置換を作ることから始める。点ごとに全て止まる場合は になるので除外し、非恒等な置換を「1点固定の入れ替え」と「3周期」に分ける。後者では、例えば として と置き、1次変換性から を導いて原点が重心になる矛盾を作る。
解答
条件(B)より、 は3点 を全体として に移す。したがって、 の上には1つの置換が定まる。
もしこの置換が恒等的、すなわち であれば、 である。3点 は同一直線上にないので、 と は平面の2つの独立な方向を与える。よって はすべてのベクトルを動かさず、 となる。これは条件(C)に反する。
したがって、置換としては非恒等である。3個のものの非恒等な置換は、 または のどちらかである。前者なら、固定される点は明らかに1つだけである。よって、後者が起こらないことを示せばよい。
3点を巡回的に入れ替える場合を仮定する。必要なら の名前を入れ替えて、 としてよい。
まず と は同じ直線方向のベクトルではない。もし なら、1次変換性から となり、 は原点を通る同一直線上に並んでしまうからである。よって を基準にして と書ける。
この式に を作用させると である。一方、巡回の仮定より だから、 となる。 は独立なので係数を比べて を得る。後式から であり、これを前式に代入すると である。実数 については であり、したがって である。ゆえに すなわち が従う。
ところがこれは ということであり、原点 が三角形 の重心であることを意味する。三角形の重心は内部にあるので、条件(A)の「原点 は三角形 の内部には属さない」に反する。
したがって3点を巡回的に入れ替える場合は起こらない。残るのは1点だけを固定し、残り2点を入れ替える場合であるから、3点 のうち によって動かないものは、1つあって1つに限る。