問題
実数， に対して，下の2条件(A)，(B)を満たす三角形が存在するための必要十分条件を求めよ．
(A)
(B)
ただし，はとの内積をあらわす．
出典：京都大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第1問
方針
を固定し、 とおくと になる。内積を平方完成して下限を読み取り、等号のときは が の中点になって三角形が退化することまで確認する。逆向きは、下限より大きい値なら垂直方向のずれを選んで非退化な三角形を作る。
解答
とする。点 から見た へのベクトルを とおけば、 は から だけ進んだ点なので
である。したがって条件(B)の左辺は
となる。
ここで平方の部分は0以上だから、まず が必要である。ただし等号が成り立つなら であり、これは が の中点であることを意味する。このとき3点 は一直線上に並び、三角形にならない。よって実際に必要なのは である。
逆に とする。このとき とおける。 に垂直な単位ベクトルを とし、 と取ると、 は と同一直線方向ではないので、対応する3点 は一直線上に並ばない。また であるから となる。さらに である。
以上より、求める必要十分条件は である。