問題
内側が直円すい形の容器がある．その回転軸は鉛直で，頂点が最低点，深さはで，上面は半径の円である．この容器に上面まで満たされた水を，断面積がの管を通じて，最低点からポンプで流出させるとする．水の流出速度は，そのときの水面の高さをとすれば， (は正の定数)で与えられるようにポンプが調整されているものとする．流出し始めた時刻をとして，時刻における水面の高さを求めよ．ただし，は容器がからになる時刻までに限定する．(時刻との間に流出する水量をとすれば，がなりたつ．)
出典：京都大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
水面の高さが のとき、円すいの相似から水面半径は である。水量 を の式で表し、流出量の変化率 により と置く。これを の微分方程式に直して、初期条件 で解く。
解答
水面の高さが のとき、水面の半径は相似より である。したがって、その時点で容器内に残っている水量を とすると である。
水の流出速度は であり、管の断面積は であるから、単位時間あたりの流出量は である。水量は減少するので である。
一方、 より である。したがって となる。
容器が空になる前は なので、 で割って を得る。すなわち である。
初期条件は だから である。よって である。ただし空になるまでなので である。