問題
，，の3高校が野球の試合をする．まず2校が対戦して，勝った方が残りの1校と対戦する．これをくりかえして，2連勝した高校が優勝する．校が，校に勝つ確率をそれぞれ，とし，校が校に勝つ確率をとする．次の確率を，それぞれ求めよ．ただし，，とする．
(1) 第1戦に校と校が対戦した場合，校が校に勝って優勝する確率．
(2) 第1戦に校と校が対戦した場合，校が校に負けて優勝する確率．
(3) 第1戦に校と校が対戦した場合，校が優勝する確率．
方針
直前に が勝っており、次に と戦う状態、次に と戦う状態の2つを置く。そこから が優勝する確率を とし、次戦で勝てば優勝、負ければ相手同士の試合を経て同じ状態に戻る、という再帰式を立てる。各設問は初戦結果の確率を掛けて求める。
解答
直前に が勝ち、次に と対戦する状態から が優勝する確率を とする。また、直前に が勝ち、次に と対戦する状態から が優勝する確率を とする。 を考える。次に が に勝てば、 は2連勝で優勝する。これは確率 で起こる。負けた場合は、 が1勝した状態で と対戦する。その後 が優勝するには、 が に勝ち、さらに が に勝って、再び状態 に戻る必要がある。したがって である。これを解いて を得る。
同様に なので である。
(1)
第1戦で が に勝つ確率は である。その後は、 が1勝して次に と対戦する状態なので、優勝確率は である。よって である。
(2)
第1戦で が に負ける確率は である。その後、 が優勝するには、まず が に勝ち、さらに が に勝って状態 に入る必要がある。したがって である。
(3)
第1戦で が に勝つ確率と、 が に勝つ確率はいずれも である。 が勝った場合、次に が に勝てば状態 に入る。寄与は である。 が勝った場合、次に が に勝てば状態 に入る。寄与は である。
したがって求める確率は
である。