問題
平面上に動点，がある．は時刻0のとき点にあり，速さ1で軸上を正の向きに進む．他方は時刻0のとき軸上の点にあり，速さ1で軸上を正の向きに進み，ある時刻 で向きを変え，速さをに変更してに到達するように直進するものとする．時刻から到達する時刻までの時間が最小になるようなを求めよ．ただし，とする．
出典：京都大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
向きを変えてから到達するまでの時間を と置く。時刻 の の位置と、時刻 の の位置を式にし、距離が である条件から を の関数にする。その関数を で微分し、符号が負から正へ変わる点を求める。
解答
時刻 に向きを変え、その後 に到達するまでの時間を とする。
時刻 における の位置は である。一方、到達時刻は なので、そのときの の位置は である。
向きを変えた後の の速さは だから、進む距離は である。したがって が成り立つ。
これを について解く。正の時間を取ると である。よって を で最小にすればよい。
微分すると である。 とおくと が必要である。両辺を2乗して整理すると を得る。 は、上の平方根の等式の右辺が となるため不適である。したがって候補は である。 より である。また はこの点の前で負、後で正に変わるので、ここで最小となる。
よって求める時刻は である。