問題
3つのベクトル，，はたがいに直交している．点より直線，，に垂線をひき，その交点をそれぞれ，，とする．
(1) 四面体の四面体に対する体積比を，，，の長さ，，で表せ．
(2) 四面体の体積は四面体の体積の以下であることを示せ．
出典：京都大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第4問・理系第4問
方針
互いに直交する を座標軸に取り、 と置く。各辺への垂線の足は、辺上の点を1変数で置き、辺の方向ベクトルとの内積が になる条件から求める。体積比は3点 の座標で行列式を計算し、不等式は相加相乗平均で評価する。
解答
(1)
とおく。
直線 上の点を と表す。これが から直線 へ下ろした垂線の足であるためには、位置ベクトル が直線 の方向 と垂直であればよい。したがって であり、 である。よって である。
同様に を得る。
四面体 の体積は、3つの位置ベクトルで作る行列式の絶対値の である。計算すると である。
一方、 である。したがって体積比は
である。
(2)
相加相乗平均より である。これらを掛け合わせると である。
したがって
である。よって が示された。