京都大学 1983年度文理共通数学文系第3問・理系第3問解答・解説

問題

$ab + c d = 0$ ， $a d - b c \neq = 0$ を満たす実数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ のつくる行列 $A = (a c b d)$ がある．ただし， $a$ ， $c$ は負ではないとする．

(1) $A = (v cos θ v sin θ - v sin θ v cos θ) (10 0 u)$ と表されることを示せ．ただし， $u$ ， $v$ ， $θ$ は実数で， $v > 0$ ， $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

(2) $O$ を原点とする座標平面上の1次変換 $(x^{'} y^{'}) = A (x y)$ について，長さ1のベクトル $O P = (x y)$ から，ベクトル $O P^{'} = (x^{'} y^{'})$ への角度を $γ$ $(- π < γ ≦ π)$ とする(したがって，半直線 $O P$ を角度 $γ$ だけ回転すれば半直線 $O P^{'}$ となる)． $(x, y)$ が $x ≧ 0$ ， $y ≧ 0$ ， $x^{2} + y^{2} = 1$ の範囲を動いたとき， $γ$ を最大にする $O P$ を求めよ．ただし， $0 < u < 1$ とする．

出典：京都大学 1983年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第3問・理系第3問

方針

(1) は、行列の2本の列ベクトルが直交していることから、第一列の長さを $v$ 、方向角を $θ$ として表す。第二列は第一列に垂直な方向の何倍かなので、倍率を $u$ と置けば分解が得られる。(2) は $O P = (cos ϕ, sin ϕ)$ と置き、縦方向を $0 < u < 1$ 倍する操作が偏角を増やさないことを示す。

解答

{(1)行列 $A$ の2本の列ベクトルは

(a c), (b d)

である。条件 $ab + c d = 0$ より、これらは互いに垂直である。また $a d - b c \neq = 0$ なので、どちらも零ベクトルではない。 $v = a^{2} + c^{2}$ とおくと $v > 0$ である。 $a, c$ は負でないので、ある $θ$ によって $a = v cos θ, c = v sin θ$ と表せる。ここで $θ$ は第一象限内に取れるので $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ である。

第二列は第一列に垂直であるから、ある実数 $u$ によって $b = - uv sin θ, d = uv cos θ$ と表せる。さらに $a d - b c = u v^{2}$ なので、 $u \neq = 0$ である。

したがって

A = (v cos θ v sin θ - uv sin θ uv cos θ)

であり、

A = (v cos θ v sin θ - v sin θ v cos θ) (10 0 u)

と表される。

(2)

O P = (cos ϕ sin ϕ) (0 ≦ ϕ ≦ \frac{π}{2})

とおく。まず

(10 0 u) (cos ϕ sin ϕ) = (cos ϕ u sin ϕ)

である。 $0 < u < 1$ なので、このベクトルの偏角を $ϕ^{'}$ とすると $0 ≦ ϕ^{'} ≦ ϕ$ である。等号 $ϕ^{'} = ϕ$ が成り立つのは $ϕ = 0 または ϕ = \frac{π}{2}$ のときである。

その後の行列は、角度を $θ$ だけ回転し、長さを $v$ 倍する操作である。したがって $γ = θ + ϕ^{'} - ϕ$ である。ここで $θ ≦ π /2$ なので角度の取り直しは起こらない。上の不等式から $γ ≦ θ$ であり、最大値は $θ$ である。

等号となるのは $ϕ = 0, ϕ = \frac{π}{2}$ のときである。よって $γ$ を最大にするベクトルは

O P = (10) または (01)

である。}

京都大学 1983年度文理共通数学 文系第3問・理系第3問

問題

方針

解答

(2)

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