問題
である直角三角形がある．頂点，をそれぞれ始点として，辺に垂直な半直線，を頂点のある側にひく．つぎに辺上の任意の点より辺，に垂線をひき，この延長が，と交わる点をそれぞれ，とする．
(1) 3点，，は一直線上にあることを示せ．
(2) 台形の面積が三角形の面積の2倍になるとき，この台形の形を求めよ．ただし，とする．
出典：京都大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第2問・理系第2問
方針
直角を原点に置き、 とする。点 を 上のパラメータ で表し、 から へ下ろした垂線と、 を通る への垂線との交点 を座標で求める。面積条件で を決め、最後に から台形が長方形になることを示す。
解答
(1)
とおく。ただし である。点 は辺 上にあるので と表せる。
辺 の傾きは であるから、 に垂直な直線の傾きは である。 から への垂線は である。これと を通り に垂直な直線との交点が なので である。
同様に、 から への垂線は である。これと を通り に垂直な直線との交点が なので である。
ここで であり、また である。したがって、 と はともに原点 を通る同じ直線上にある。よって である。
(2)
と はどちらも に垂直である。長さは である。したがって台形 の面積は であり、 となる。
三角形 の面積は なので、その2倍は である。したがって である。これを整理すると となる。 より なので を得る。
このとき かつ であり、 である。よって台形 は平行な2辺 の長さが等しいので平行四辺形であり、さらに だから長方形である。
点 は から へ比 だけ進んだ点なので、 である。したがって求める台形は、 が を満たす位置にあるときの長方形である。