京都大学 1982年度文系数学第5問解答・解説

問題

平面上に四辺形 $A B C D$ があって，どの頂点も，残りの頂点の作る三角形の外部にある． $△ B C D$ の重心を $A_{1}$ ， $△ C D A$ の重心を $B_{1}$ ， $△ D A B$ の重心を $C_{1}$ ， $△ A B C$ の重心を $D_{1}$ として，四辺形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ を作る．

(1) 線分 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ は1点 $P$ を共有することを示せ．

(2) (1)において，点 $P$ は各線分をどのような比に分けるか．

出典：京都大学 1982年度前期日程第2次学力試験文系第5問

方針

各頂点の位置ベクトルを $a, b, c, d$ と置き、四点の平均 $p = \frac{a + b + c + d}{4}$ を考える。反対側三角形の重心 $A_{1}$ は $\frac{b + c + d}{3}$ なので、 $p - a$ と $a_{1} - p$ を比較すれば、 $A, P, A_{1}$ が一直線上にあり、比が $3 : 1$ であることが分かる。

解答

(1)

点 $A, B, C, D$ の位置ベクトルをそれぞれ $a, b, c, d$ とする。また $p = \frac{a + b + c + d}{4}$ とおき、この位置ベクトルをもつ点を $P$ とする。

三角形 $B C D$ の重心 $A_{1}$ の位置ベクトルは $a_{1} = \frac{b + c + d}{3}$ である。すると

p - a = \frac{b + c + d - 3 a}{4}

であり、

a_{1} - p = \frac{b + c + d}{3} - \frac{a + b + c + d}{4}

$= \frac{b + c + d - 3 a}{12} .$ したがって $a_{1} - p = \frac{1}{3} (p - a)$ である。よって $A, P, A_{1}$ は一直線上にある。

同様に $B, P, B_{1}, C, P, C_{1}, D, P, D_{1}$ もそれぞれ一直線上にある。したがって線分 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ は1点 $P$ を共有する。

(2)

上で得た $a_{1} - p = \frac{1}{3} (p - a)$ は、長さについて $P A_{1} = \frac{1}{3} A P$ を意味する。したがって $A P : P A_{1} = 3 : 1.$ 同じ計算が他の頂点にも成り立つので $B P : P B_{1} = 3 : 1,$ $C P : P C_{1} = 3 : 1,$ $D P : P D_{1} = 3 : 1$ である。

よって点 $P$ は各線分を、元の頂点側から $3 : 1$ に分ける。

別解の視点

点 $P$ は四点 $A, B, C, D$ の平均の点である。三角形の重心を使って作った点と元の頂点を結ぶと、この四点平均が自然に現れる。図形の形に依存せず、位置ベクトルの平均だけで処理できるのがこの問題の特徴である。

京都大学 1982年度文系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

別解の視点

京都大学 1982年度
文系数学第5問