京都大学 1982年度
文系数学 第4問

解答

{(1)

について $A^2=I$ である。成分を比較すると $a^2+bc=1,b(a+d)=0,$ $c(a+d)=0,d^2+bc=1$ である。仮定より $b\ne 0$ だから $a+d=0$ であり、$d=-a$ である。

点 $P$ の位置ベクトルを $\mathbf{p}$ とすると、移った点 $Q$ の位置ベクトルは $A\mathbf{p}$ である。線分 $PQ$ の中点 $M$ の位置ベクトルを $\mathbf{m}$ とすると $\mathbf{m}=\frac{1}{2}(\mathbf{p}+A\mathbf{p})$ である。

このとき

したがって中点 $M$ は、$A$ によって保たれる点である。 $M=(X,Y)$ と書くと、条件 $A\mathbf{m}=\mathbf{m}$ は

である。特に $(a-1)X+bY=0$ を満たす。これは原点を通る定直線である。よって中点 $M$ は、点 $P$ の取り方によらず定直線 $l:(a-1)X+bY=0$ 上にある。

(2)

直線 $l$ の方向ベクトルとして

を取れる。実際、$(a-1)b+b(1-a)=0$ である。

一方、線分 $PQ$ の方向ベクトルは $A\mathbf{p}-\mathbf{p}=(A-I)\mathbf{p}$ である。これを $\mathbf{v}$ とおくと

したがって $\mathbf{v}$ は $(A+I)\mathbf{v}=0$ を満たす方向にある。この方向ベクトルとして

を取れる。実際、$A+I$ の第一行に対して $(a+1)b+b(-a-1)=0$ であり、第二行についても $a^2+bc=1$ を用いれば同じく0になる。

したがって、線分 $PQ$ が常に直線 $l$ と垂直であるための必要十分条件は ${\mathbf{e}}_{+}\cdot {\mathbf{e}}_{-}=0$ である。計算すると ${\mathbf{e}}_{+}\cdot {\mathbf{e}}_{-}=b^2+(1-a)(-a-1)=b^2-(1-a^2).$ ここで $a^2+bc=1$ だから $1-a^2=bc.$ よって ${\mathbf{e}}_{+}\cdot {\mathbf{e}}_{-}=b^2-bc=b(b-c).$ $b\ne 0$ なので、これは $b=c$ と同値である。

以上より、線分 $PQ$ が常に定直線 $l$ と垂直であるための必要十分条件は $b=c$ である。}