京都大学 1982年度
文系数学 第3問

解答

(1)

点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とする。$P$ は原点と異なる曲線上の点なので $p\ne 0$ である。曲線は $y=x^3-x$ であり、導関数は $y^{\prime }=3x^2-1.$ したがって点 $P(p,p^3-p)$ における接線の傾きは $3p^2-1$ である。接線の方程式は $y=(3p^2-1)(x-p)+p^3-p$ であり、整理して $y=(3p^2-1)x-2p^3$ となる。

この接線と曲線の交点の $x$ 座標は $x^3-x=(3p^2-1)x-2p^3$ を満たす。整理すると $x^3-3p^{2}x+2p^3=0.$ これは $(x-p{)}^2(x+2p)=0$ と因数分解できる。$x=p$ は接点 $P$ に対応し、もう一つの交点は $x=-2p$ である。$p\ne 0$ なので $-2p\ne p$ であり、接線は $P$ と異なる点 $Q$ で曲線と交わる。

(2)

接線と曲線の差を計算する。接線の $y$ 座標から曲線の $y$ 座標を引くと $(3p^2-1)x-2p^3-(x^3-x)=-x^3+3p^{2}x-2p^3$ である。これは $-(x-p{)}^2(x+2p)$ である。

まず $p>0$ として計算する。このとき $Q$ の $x$ 座標は $-2p$ であり、囲まれる範囲は $-2p\leqq x\leqq p$ である。この区間で $(x-p{)}^2(x+2p)\geqq 0$ なので、曲線は接線より上にある。

したがって $y$ 軸の左側、すなわち $Q$ を含む側の面積は ${\int }_{-2p}^0(x-p{)}^2(x+2p)dx$ である。$x=pu$ とおくと ${\int }_{-2p}^0(x-p{)}^2(x+2p)dx=p^4{\int }_{-2}^0(u-1{)}^2(u+2)du.$ $(u-1{)}^2(u+2)=u^3-3u+2$ だから ${\int }_{-2}^0(u^3-3u+2)du=6.$ よって左側の面積は $6p^4.$ 同様に、右側、すなわち $P$ を含む側の面積は ${\int }_0^p(x-p{)}^2(x+2p)dx=p^4{\int }_0^1(u^3-3u+2)du.$ ここで ${\int }_0^1(u^3-3u+2)du=\frac{3}{4}$ なので、右側の面積は $\frac{3}{4}{p}^4.$ したがって $6p^4:\frac{3}{4}{p}^4=8:1.$ $p<0$ のときは左右が入れ替わるだけである。よって結論として $Q\text{を含む側}:P\text{を含む側}=8:1$ である。

別解の視点

この面積比は接点の位置 $p$ に依存しない。積分で $x=pu$ と置くと全体に $p^4$ が掛かり、比を取ると消えるためである。