問題
を正の定数とする．放物線上の点から放物線に引いた2本の接線の接点を，とするとき，線分ととで囲まれた部分の面積は，の取り方に無関係であることを示せ．
出典：京都大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
点 を と置き、放物線 の接点の 座標を として接線 を使う。通過条件から接点が , と対称に定まるので、弦 と放物線との差を の式に直して積分する。
解答
点 を とおく。放物線 の における接線は である。この接線が を通る条件は であり、移項すると となる。 だから、2本の接線の接点の 座標は である。
したがって としてよい。この2点を結ぶ直線の傾きは であるから、直線 は である。この直線と放物線 の縦の差は である。区間 ではこれは非負で、端点で になる。
よって、線分 と とで囲まれた部分の面積は である。 とおくと
となる。この値は を含まない。したがって、求める面積は の取り方に無関係である。
別解。
接点の 座標が , と分かった時点で、座標を と横に平行移動して考えると、囲まれた部分の縦の幅は で表される。したがって面積はただちに であり、中心 の位置には依存しない。