問題
座標平面上に，原点と異なる3点，，を考える．は軸上にあり，は軸上にあるものとする．を原点とするとき，1次変換が，，をみたすものとする．このとき，次の(1)，(2)が成り立つことを示せ．
(1)
(2) なるとき，平面上の点で，ととが直交するならば，点は軸上にある．ただし，はベクトルの大きさを表わす．
出典：京都大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
と は直交する2本の座標軸上の零でないベクトルなので、これらを基底にして と表す。一次変換の線形性を に代入して係数比較を行い、まず を確定する。(2) では と置き、 かつ長さが等しいことを内積計算に反映させる。
解答
{(1) と は、それぞれ 軸、 軸上の零でないベクトルである。したがって互いに平行でなく、平面上の任意のベクトルはこの2つの一次結合で一通りに表せる。そこで とおく。一次変換の線形性より
である。これが に等しいから、上の表示を代入して
となる。すなわち である。 , の表示は一意なので、係数を比較して を得る。第2式から であり、これを第1式に代入すると である。 は実数だから 、よって である。したがって となり、 が示された。
(2)
平面上の点 に対して とおく。(1) の結果を用いると
である。いま と は直交し、さらに である。したがって交差項は消え、
となる。 と が直交するなら、この内積は である。 は原点と異なるので であり、上式から が従う。よって である。 は 軸上のベクトルだから、点 は 軸上にある。}