京都大学 1981年度
文系数学 第2問

解答

与えられた2式を $x_{n+1},y_{n+1}$ について整理すると $x_{n+1}-p{y}_{n+1}=x_n+p{y}_n,p{x}_{n+1}+y_{n+1}=y_n-p{x}_n$ である。左辺の係数行列の行列式は $1+p^2$ であり、$p$ は有理数、特に実数だから $1+p^2\ne 0$ である。したがって解は一意に定まり、計算すると

となる。 $p$ が有理数で、$x_n,y_n$ が有理数なら、右辺は有理数の四則計算で得られるので $x_{n+1},y_{n+1}$ も有理数である。$x_1,y_1$ はともに有理数であるから、数学的帰納法により、すべての $x_n,y_n$ は有理数である。

次に、与式を差の形に戻すと $x_{n+1}-x_n=p(y_{n+1}+y_n),y_{n+1}-y_n=-p(x_{n+1}+x_n)$ である。第1式に $x_{n+1}+x_n$ を掛け、第2式に $y_{n+1}+y_n$ を掛けて足すと $(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}+x_n)+(y_{n+1}-y_n)(y_{n+1}+y_n)=0$ となる。これは $x_{n+1}^2+y_{n+1}^2=x_n^2+y_n^2$ を意味する。よってこれを繰り返して $x_n^2+y_n^2=x_1^2+y_1^2$ がすべての $n$ について成り立つ。$P_1$ は原点でないから $x_1^2+y_1^2>0$ であり、点 $P_n$ は原点を中心とする定円 $x^2+y^2=x_1^2+y_1^2$ 上にある。

別解。

先に求めた式を

と見る。ここで

であるから、直接展開して $x_{n+1}^2+y_{n+1}^2=x_n^2+y_n^2$ が分かる。この見方でも定円上にあることが直ちに従う。