熊本大学 2026年度文系数学第4問解答・解説

問題

座標平面上の直線 $y = x - \frac{3}{4}$ を $ℓ$ とし，曲線 $y = ∣ x^{2} - 4 x + 3∣$ を $C$ とする。以下の問いに答えよ。

(問1) 曲線 $C$ の概形を座標平面上に図示せよ。

(問2) 直線 $ℓ$ と曲線 $C$ の共有点の個数を求めよ。

(問3) 直線 $ℓ$ と曲線 $C$ の共有点の $x$ 座標のうち最小のものを $α$ ，最大のものを $β$ とおく。このとき， $β^{2} - α^{2}$ および $β^{3} - α^{3}$ の値をそれぞれ求めよ。

(問4) 直線 $ℓ$ と曲線 $C$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

出典：熊本大学 2026年度前期文系第4問

方針

絶対値の中身 $(x - 1) (x - 3)$ の符号で曲線を3区間に分ける。直線との交点は外側の放物線部分と内側の反転部分で別々に求め，最小・最大の交点には解と係数の関係を用いる。面積は直線が曲線以上にある区間を， $x = 1, 3$ で分けて定積分する。

解答

(問1)

$x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ であるから

y = ∣ x^{2} - 4 x + 3∣ = {x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} + 4 x - 3 (x ≦ 1, 3 ≦ x), (1 ≦ x ≦ 3)

である。したがって $x ≦ 1$ と $x ≧ 3$ では上に開く放物線 $y = x^{2} - 4 x + 3$ ， $1 ≦ x ≦ 3$ では下に開く放物線 $y = - x^{2} + 4 x - 3$ の部分を描けばよい。特に $x = 1, 3$ で $x$ 軸と交わり， $x = 2$ で $y = 1$ となる。

(問2)

$x ≦ 1$ または $3 ≦ x$ では

x^{2} - 4 x + 3 = x - \frac{3}{4}

すなわち

x^{2} - 5 x + \frac{15}{4} = 0

である。この解は

x = \frac{5 \pm 10}{2}

であり，それぞれ $x ≦ 1$ ， $3 ≦ x$ の範囲に入る。

また， $1 ≦ x ≦ 3$ では

- x^{2} + 4 x - 3 = x - \frac{3}{4}

すなわち

(x - \frac{3}{2})^{2} = 0

である。よって共有点は全部で $3$ 個である。

(問3)

(問2)より

α = \frac{5 - 10}{2}, β = \frac{5 + 10}{2}

である。したがって

β + α = 5, β - α = 10,

より

β^{2} - α^{2} = (β - α) (β + α) = 510

である。また $α β = \frac{15}{4}$ であるから

β^{3} - α^{3} = (β - α) (β^{2} + α β + α^{2}) = 10 {(α + β)^{2} - α β} = \frac{85 10}{4}

である。

(問4)

$α ≦ x ≦ β$ では直線 $ℓ$ は曲線 $C$ 以上にある。求める面積を $A$ とすると

A = \int_{α}^{1} {x - \frac{3}{4} - (x^{2} - 4 x + 3)} d x + \int_{1}^{3} {x - \frac{3}{4} - (- x^{2} + 4 x - 3)} d x + \int_{3}^{β} {x - \frac{3}{4} - (x^{2} - 4 x + 3)} d x .

ここで

x - \frac{3}{4} - (x^{2} - 4 x + 3) = - x^{2} + 5 x - \frac{15}{4}

は $α, β$ を根に持つので

\int_{α}^{β} (- x^{2} + 5 x - \frac{15}{4}) d x = \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{5 10}{3}

である。また

\int_{1}^{3} (- x^{2} + 5 x - \frac{15}{4}) d x = \frac{23}{6}, \int_{1}^{3} (x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}) d x = \frac{7}{6}