熊本大学 2024年度理系数学第4問（医学部医学科）解答・解説

問題

$m$ を自然数とする。以下の問いに答えよ。(問1)　 $k^{2} - l^{2} = 3^{m}$ を満たす自然数の組 $(k, l)$ の個数を $m$ を用いて表せ。(問2)　 $x (x + 3^{m})$ が整数となるような自然数 $x$ で $3$ の倍数でないものを $m$ を用いて表せ。(問3)　 $x (x + 3^{m})$ が整数となるような自然数 $x$ の個数を $m$ を用いて表せ。

出典：熊本大学 2024年度前期理系第4問

方針

(問1)は $(k - l) (k + l) = 3^{m}$ と因数分解し、二つの因数を $3^{a}, 3^{m - a}$ とおく。(問2)は $x$ が $3$ の倍数でない場合、 $x$ と $x + 3^{m}$ が互いに素なのでそれぞれ平方数になることを使う。(問3)は最大公約数を $3^{r}$ として同じ形に帰着し、(問1)の個数を合計する。

解答

(問1)

k^{2} - l^{2} = (k - l) (k + l) = 3^{m}

である。 $k, l$ は自然数なので $0 < k - l < k + l$ である。したがって

k - l = 3^{a}, k + l = 3^{m - a}

とおけ、条件は

0 ≦ a < \frac{m}{2}

である。 $m = 2 s - 1$ または $m = 2 s$ と書くと、いずれの場合も $a$ は

0, 1, \dots, s - 1

の $s$ 通りである。よって組 $(k, l)$ の個数は、 $m = 2 s - 1$ または $m = 2 s$ のとき

s

である。

(問2)

$N = 3^{m}$ とおく。 $x$ が $3$ の倍数でないとき、 $x$ と $x + N$ は互いに素である。したがって $x (x + N)$ が平方数なら、 $x$ と $x + N$ はそれぞれ平方数である。すなわち

x = l^{2}, x + 3^{m} = k^{2}

とおける。すると

k^{2} - l^{2} = 3^{m}

である。

(問1)の表し方で $l = (3^{m - a} - 3^{a}) /2$ である。 $x = l^{2}$ が $3$ の倍数でないためには $a = 0$ でなければならない。よって

x = (\frac{3 ^{m} - 1}{2})^{2}

である。

(問3)

$d$ を $x$ と $x + 3^{m}$ の最大公約数とする。 $d$ は $3^{m}$ の約数なので $d = 3^{r} (0 ≦ r ≦ m)$ とおける。

x = 3^{r} X, x + 3^{m} = 3^{r} Y

とすると、 $X, Y$ は互いに素であり、 $X Y$ は平方数である。したがって

X = l^{2}, Y = k^{2}

とおける。このとき

k^{2} - l^{2} = 3^{m - r}

である。 $m - r = t ≧ 1$ とおくと、(問1)より、 $t = 2 u - 1$ または $t = 2 u$ のとき個数は $u$ 通りである。

したがって $m = 2 s - 1$ のとき総数は

1 + 1 + 2 + 2 + \dots + (s - 1) + (s - 1) + s = s^{2}

であり、 $m = 2 s$ のとき総数は

1 + 1 + 2 + 2 + \dots + s + s = s (s + 1)

である。ゆえに求める個数は

{s^{2} s (s + 1) (m = 2 s - 1), (m = 2 s)

である。

熊本大学 2024年度理系数学 第4問（医学部医学科）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2024年度
理系数学第4問（医学部医学科）