熊本大学 2024年度理系数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

$k$ を実数とし, $f (x) = sin^{2} x - cos x - 1 + k$ とおく。曲線 $y = f (x)$ $(0 ≦ x ≦ \frac{3 π}{2})$ を $C$ とする。以下の問いに答えよ。(問1)　曲線 $C$ と $x$ 軸の共有点の個数が $k$ の値によってどのように変わるか調べよ。(問2)　曲線 $C$ と $x$ 軸の共有点が $2$ 個以上あるような $k$ に対し, $g (k)$ を $g (k) = \int_{p_{1}}^{p_{2}} f (x) sin x d x$ と定める。ただし, $p_{1},$ $p_{2}$ はそれぞれ,曲線 $C$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標のうち $1$ 番小さいもの, $2$ 番目に小さいものとする。 $g (k)$ の最大値と最小値を求めよ。

出典：熊本大学 2024年度前期理系第3問

方針

$u = cos x$ とおくと $f (x) = k - u^{2} - u$ となる。まず $u \in [- 1, 1]$ での二次方程式の根と、区間 $[0, 3 π /2]$ における $cos x = u$ の解の個数を数える。(問2)は最初の二つの解が $cos x$ の二つの根に対応するので、 $u$ で積分して根の間の放物線面積にする。

解答

(問1)

$u = cos x$ とおくと

f (x) = sin^{2} x - cos x - 1 + k = k - u^{2} - u

である。共有点は

u^{2} + u - k = 0

を満たす $u = cos x$ に対応する。 $u^{2} + u$ の $- 1 ≦ u ≦ 1$ での値域は

- \frac{1}{4} ≦ u^{2} + u ≦ 2

である。

$k < - 1/4$ または $k > 2$ では共有点はない。

$k = - 1/4$ では $u = - 1/2$ であり、 $[0, 3 π /2]$ に解は $2$ 個ある。

$- 1/4 < k < 0$ では二つの根がともに $(- 1, 0)$ にある。それぞれに対し $[0, 3 π /2]$ に解が $2$ 個あるので、共有点は $4$ 個である。

$k = 0$ では $u = - 1, 0$ であり、解の個数は $1 + 2 = 3$ 個である。

$0 < k < 2$ では一つの根だけが $(0, 1)$ にあるので、共有点は $1$ 個である。 $k = 2$ では $u = 1$ に対応し、共有点は $1$ 個である。

(問2)

共有点が $2$ 個以上あるのは

- \frac{1}{4} ≦ k ≦ 0

である。方程式 $u^{2} + u - k = 0$ の二つの根を $r_{1} ≦ r_{2}$ とすると

r_{2} - r_{1} = 1 + 4 k

である。最初の二つの共有点に対応する $u$ の値は $r_{2}, r_{1}$ であるから、 $u = cos x$ 、 $d u = - sin x d x$ により

g (k) = \int_{r_{1}}^{r_{2}} (k - u^{2} - u) d u

である。これは根の間の下に凸な二次式の面積であり、

g (k) = \int_{r_{1}}^{r_{2}} (u - r_{1}) (r_{2} - u) d u = \frac{( r _{2} - r _{1} ) ^{3}}{6} = \frac{( 1 + 4 k ) ^{3/2}}{6}

である。したがって $- 1/4 ≦ k ≦ 0$ で

min g (k) = 0, max g (k) = \frac{1}{6}

である。

熊本大学 2024年度理系数学 第3問（医学部医学科）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

熊本大学 2024年度
理系数学第3問（医学部医学科）