熊本大学 2021年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

曲線 $C ： y = x^{3} - 2 x^{2} + x$ 上に点 $P_{1}$ $(2, 2)$ がある．自然数 $n$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ に対して点 $P_{n}$ から点 $P_{n + 1}$ を次のように定める．点 $P_{n}$ を接点とする $C$ の接線を $l_{n}$ とし， $C$ と $l_{n}$ の共有点のうち， $P_{n}$ と異なるものを $P_{n + 1}$ とする．点 $P_{n}$ の $x$ 座標を $a_{n}$ とする．(問1)　 $P_{2}$ の座標を求めよ．(問2)　接線 $l_{n}$ の傾きおよび $y$ 切片をそれぞれ $a_{n}$ を用いて表せ．(問3)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期文理共通第3問

方針

接線と三次曲線の差は接点で二重根をもつ。根の和から次の交点の $x$ 座標を出し，一次漸化式 $a_{n + 1} = 2 - 2 a_{n}$ を解く。

解答

(問1)

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ とすると $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$ 。 $P_{1} = (2, 2)$ での接線は $y = 5 x - 8$ である。

x^{3} - 2 x^{2} + x = 5 x - 8 ⟺ (x - 2)^{2} (x + 2) = 0

より， $P_{2} = (- 2, - 18)$ 。

(問2)

傾きは

3 a_{n}^{2} - 4 a_{n} + 1.

切片は

f (a_{n}) - a_{n} f^{'} (a_{n}) = 2 a_{n}^{2} (1 - a_{n}) .

(問3)

接線との差は接点 $x = a_{n}$ を二重根にもつ。もう一つの根を $r$ とすると根の和から $2 a_{n} + r = 2$ ，すなわち

a_{n + 1} = 2 - 2 a_{n} .

よって

a_{n + 1} - \frac{2}{3} = - 2 (a_{n} - \frac{2}{3}), a_{1} = 2

から

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} (- 2)^{n - 1} .

熊本大学 2021年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
文理共通数学第3問