熊本大学 2021年度文理共通数学第1問（理工系）解答・解説

問題

空間の点 $O$ を通らない平面 $α$ をとる． $α$ 上の $3$ 点 $A ，$ $B ，$ $C$ は三角形をなすとし． $O A = a ，$ $O B = b ，$ $O C = c$ とおく．直線 $l$ は媒介変数 $t$ を用いて $\frac{1}{3} (b + 2 c) + \frac{t}{3} (2 a - b - c)$ と表されるとする．(問1)　 $l$ は平面 $α$ 上にあることを示せ．(問2)　 $△ A B C$ の各辺と直線 $l$ との交点の個数をそれぞれ求めよ．また，交点がある場合，各交点 $X$ について， $O X$ を $a ，$ $b ，$ $c$ を用いてそれぞれ表せ．(問3)　 $A ，$ $B$ の中点を $D$ とし． $O E = 2 O D$ となる点 $E$ を考える．点 $O$ と $l$ 上の点 $Y$ を通る直線は $2$ 点 $E ，$ $C$ を通る直線と交点をもつとし，その交点を $F$ とする．このとき， $O F$ を $a ，$ $b ，$ $c$ を用いて表せ．

出典：熊本大学 2021年度前期文理共通第1問

方針

係数和で平面上の点を判定し，各辺では対応しない頂点の係数を0にする。辺上にあるかは残りの係数が0以上かで確認する。最後は直線 $O Y$ と $E C$ を係数比較する。

解答

(問1)

直線上の点は

\frac{2 t}{3} a + \frac{1 - t}{3} b + \frac{2 - t}{3} c

で，係数和が $1$ だから平面 $α$ 上にある。

(問2)

辺 $B C$ では $a$ の係数が $0$ なので $t = 0$ ，

O X = \frac{1}{3} b + \frac{2}{3} c .

辺 $C A$ では $b$ の係数が $0$ なので $t = 1$ ，

O X = \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} c .

辺 $A B$ では $t = 2$ となるが， $b$ の係数が $- \frac{1}{3}$ となり辺上にない。よって個数は $B C$ が1個， $C A$ が1個， $A B$ が0個。

(問3)

$O E = a + b$ 。 $F$ を直線 $O Y$ と直線 $E C$ の交点として係数比較すると

λ \frac{2 t}{3} = 1 - μ, λ \frac{1 - t}{3} = 1 - μ, λ \frac{2 - t}{3} = μ .

よって $t = \frac{1}{3}$ ， $λ = \frac{9}{7}$ 。したがって

O F = \frac{2}{7} a + \frac{2}{7} b + \frac{5}{7} c .

熊本大学 2021年度文理共通数学 第1問（理工系）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
文理共通数学第1問（理工系）