熊本大学 2021年度文理共通数学第1問（理工系2）解答・解説

問題

空間の点 $O$ を通らない平面 $α$ をとる． $α$ 上の $3$ 点 $A ，$ $B ，$ $C$ は三角形をなすとし． $O A = a ，$ $O B = b ，$ $O C = c$ とおく． $k$ を $1$ より大きい定数とする．直線 $l$ は媒介変数 $t$ を用いて $\frac{k}{3} (b + 2 c) + \frac{t k}{3} (2 a - b - c)$ と表されるとする． $l$ 上を点 $X$ が動くとき， $2$ 点 $O ，$ $X$ を通る直線と平面 $α$ の交点 $Y$ の軌跡を $m$ とする．(問1)　 $△ A B C$ の各辺と $m$ との交点の個数をそれぞれ求めよ．また，交点がある場合，各交点 $Z$ について， $O Z$ を $a ，$ $b ，$ $c$ を用いてそれぞれ表せ．(問2)　 $A ，$ $B$ の中点を $D$ とする． $l$ を含み $α$ に平行な平面を $β$ とし， $O ，$ $D$ を通る直線と平面 $β$ の交点を $E$ とする．点 $O$ と $m$ 上の点 $Y$ を通る直線は $2$ 点 $E ，$ $C$ を通る直線と交点をもつとし，その交点を $F$ とする．このとき， $O F$ を $a ，$ $b ，$ $c$ および $k$ を用いて表せ．

出典：熊本大学 2021年度前期文理共通第1問

方針

$l$ 上の点は係数和が $k$ なので，直線 $O X$ と $α$ の交点はその $1/ k$ 倍である。平行平面 $β$ は係数和 $k$ の点からなることを使う。

解答

(問1)

$X$ の位置ベクトルは

\frac{2 k t}{3} a + \frac{k ( 1 - t )}{3} b + \frac{k ( 2 - t )}{3} c

で係数和は $k$ 。したがって $Y$ はその $1/ k$ 倍で

O Y = \frac{2 t}{3} a + \frac{1 - t}{3} b + \frac{2 - t}{3} c .

よって $B C$ との交点は $t = 0$ で $\frac{1}{3} b + \frac{2}{3} c$ ， $C A$ との交点は $t = 1$ で $\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} c$ 。 $A B$ では $t = 2$ だが $b$ の係数が負なので交点はない。

(問2)

$O D = \frac{1}{2} (a + b)$ 。平面 $β$ は係数和 $k$ の平面なので

O E = \frac{k}{2} (a + b) .

$Y$ を問1の式で表し， $F \in O Y$ かつ $F \in E C$ として係数比較すると

λ \frac{2 t}{3} = \frac{k}{2} (1 - μ), λ \frac{1 - t}{3} = \frac{k}{2} (1 - μ), λ \frac{2 - t}{3} = μ .

よって $t = \frac{1}{3}$ ， $λ = \frac{9 k}{5 k + 4}$ 。したがって

O F = \frac{2 k}{5 k + 4} a + \frac{2 k}{5 k + 4} b + \frac{5 k}{5 k + 4} c .

熊本大学 2021年度文理共通数学 第1問（理工系2）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

熊本大学 2021年度
文理共通数学第1問（理工系2）