熊本大学 2018年度文系数学第3問解答・解説

問題

$m ， n$ を整数とする． $x y$ 平面上の $4$ 点 $(m, n) ， (m - 1, n) ， (m - 1, n - 1) ， (m, n - 1)$ を頂点にもつ正方形を $R_{(m, n)}$ と表す．初めに $1$ 辺の長さが $1$ のさいころが $R_{(1, 1)}$ に $1$ の目を上に置かれている． $1$ 枚の硬貨を投げて表が出たらさいころを $x$ 軸方向に $+ 1$ だけ転がして移し，裏が出たら $y$ 軸方向に $+ 1$ だけ転がして移す．以下の問いに答えよ．ただし，さいころの向かい合う面の目の数の和は $7$ であるとする．(問1)　硬貨を $5$ 回投げたあとにさいころが $R_{(3, 4)}$ の位置にある確率を求めよ．(問2)　硬貨を $2$ 回投げたあとにさいころの $6$ の目が上にあるという条件の下で，硬貨を $5$ 回投げたあとにさいころが $R_{(3, 4)}$ の位置にある条件つき確率を求めよ．(問3)　硬貨を $5$ 回投げたあとにさいころの $1$ の目が上にある確率を求めよ．

出典：熊本大学 2018年度前期文系第3問

方針

位置は5回中の $x$ 方向移動回数と $y$ 方向移動回数で決まる。2回後に上面が6になるのは同じ方向に2回続けて転がした場合である。5回後に上面が1になる確率は，表を $X$ ，裏を $Y$ として上面の状態を追い，該当する列を数える。

解答

(問1)

$R_{(1, 1)}$ から $R_{(3, 4)}$ へ移るには， $x$ 軸方向に2回， $y$ 軸方向に3回進めばよい。5回のうち $x$ 軸方向に進む2回を選べばよいから，求める確率は

\frac{_{5} C _{2}}{2 ^{5}} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}

である。

(問2)

2回後に $6$ の目が上にあるのは，最初の2回がともに $x$ 軸方向，またはともに $y$ 軸方向である場合である。前者の場合，残り3回はすべて $y$ 軸方向でなければならないので1通りである。後者の場合，残り3回のうち $x$ 軸方向が2回， $y$ 軸方向が1回であればよいので3通りである。

条件を満たす最初の2回は2通りであり，その後の3回は全部で $2^{3}$ 通りである。したがって求める条件付き確率は

\frac{1 + 3}{2 \cdot 2 ^{3}} = \frac{1}{4}

である。

(問3)

表を $X$ ，裏を $Y$ と書く。5回後に $1$ の目が上に戻る列を，さいころの上面だけを追って調べると

Y X Y Y Y, X Y X Y Y, Y Y Y X Y, X X Y X Y, Y Y X Y X, X X X Y X, Y X Y Y Y, X Y X X X

の8通りである。したがって求める確率は

\frac{8}{2 ^{5}} = \frac{1}{4}

である。

熊本大学 2018年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2018年度
文系数学第3問