熊本大学 2018年度文系数学第1問解答・解説

問題

$p ， q$ を整数とする．関数 $f (x) = x^{3} - p x^{2} + (p^{2} - 2 p) x + q$ について，以下の問いに答えよ．(問1)　 $f (x)$ が極値をもつときの整数 $p$ の値をすべて求めよ．(問2)　方程式 $f (x) = 0$ が負の解 $1$ つと相異なる正の解 $2$ つをもつとき，整数 $p ， q$ の値を求めよ．

出典：熊本大学 2018年度前期文系第1問

方針

極値をもつ条件は導関数の判別式で整数 $p$ を絞る。各 $p$ について極大値と極小値の符号，さらに根の正負を調べる。整数 $q$ まで含めると候補は少数に限られる。

解答

(問1)

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 p x + p^{2} - 2 p

である。 $f (x)$ が極値をもつためには， $f^{'} (x) = 0$ が相異なる2実解をもてばよい。よって判別式について

(- 2 p)^{2} - 12 (p^{2} - 2 p) > 0

が必要十分である。整理すると

- 8 p^{2} + 24 p > 0

すなわち

0 < p < 3

である。 $p$ は整数であるから

p = 1, 2

である。

(問2)

(問1)より $p = 1, 2$ のみを調べればよい。

$p = 1$ のとき

f (x) = x^{3} - x^{2} - x + q

であり，極小点は $x = 1$ である。相異なる正の解を2つもつには $f (1) < 0$ が必要なので $q < 1$ である。一方，負の解1つと正の解2つをもつなら，3つの解の積は負であるから，定数項 $q$ は正でなければならない。整数 $q$ で $0 < q < 1$ を満たすものはない。

$p = 2$ のとき

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + q

である。極大点は $x = 0$ ，極小点は $x = \frac{4}{3}$ であり，

f (0) = q, f (\frac{4}{3}) = q - \frac{32}{27}

である。3つの相異なる実数解をもち，かつ正の解を2つもつには

q > 0, q - \frac{32}{27} < 0

が必要である。 $q$ は整数であるから $q = 1$ である。このとき

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1 = (x - 1) (x^{2} - x - 1)

となり，解は

1, \frac{1 + 5}{2}, \frac{1 - 5}{2}

であるから，条件を満たす。よって

p = 2, q = 1

である。

熊本大学 2018年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

熊本大学 2018年度
文系数学第1問