熊本大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

正三角形 $A B C$ が半径 $1$ の円に内接しているとする． $P$ は点 $A ， B$ と異なる点で， $A ， B$ を両端とし点 $C$ を含まない弧の上を動くものとする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $∠ P B A = θ$ とおくとき， $P A ， P B ， P C$ をそれぞれ $θ$ を用いて表せ．また， $P A + P B + P C$ の最大値を求めよ．(問2)　 $P A^{2} + P B^{2} + P C^{2}$ を求めよ．

出典：熊本大学 2018年度前期文系第2問

方針

円周角から弧に対する中心角を読み，半径1の円の弦長公式 $2 sin \frac{α}{2}$ で $P A, P B, P C$ を表す。和は三角関数の和積変形で $4 cos (θ - π /6)$ に整理する。二乗和は中心を原点に置いたベクトル計算で一定値を出す。

解答

(問1)

$P$ は点 $C$ を含まない弧 $A B$ 上にあるので

0 < θ < \frac{π}{3}

である。円の半径は $1$ であり，弦の長さは対応する中心角の半分の正弦の $2$ 倍である。 $∠ P B A = θ$ より弧 $P A$ の中心角は $2 θ$ であるから

P A = 2 sin θ

である。また弧 $P B$ の中心角は $\frac{2 π}{3} - 2 θ$ であるから

P B = 2 sin (\frac{π}{3} - θ)

である。さらに

P C = 2 sin (\frac{2 π}{3} - θ)

である。

したがって

P A + P B + P C = 2 {sin θ + sin (\frac{π}{3} - θ) + sin (\frac{2 π}{3} - θ)}

である。ここで

sin θ + sin (\frac{π}{3} - θ) = cos (θ - \frac{π}{6})

かつ

sin (\frac{2 π}{3} - θ) = cos (θ - \frac{π}{6})

であるから

P A + P B + P C = 4 cos (θ - \frac{π}{6})

である。 $0 < θ < \frac{π}{3}$ より，最大値は $θ = \frac{π}{6}$ のとき

4

である。

(問2)

円の中心を $O$ とする。 $O$ を原点とするベクトルで点 $A, B, C, P$ を表すと， $∣ A ∣ = ∣ B ∣ = ∣ C ∣ = ∣ P ∣ = 1$ であり，正三角形の対称性より

A + B + C = 0

である。したがって

P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} = ∣ P - A ∣^{2} + ∣ P - B ∣^{2} + ∣ P - C ∣^{2}

= 3∣ P ∣^{2} + ∣ A ∣^{2} + ∣ B ∣^{2} + ∣ C ∣^{2} - 2 P \cdot (A + B + C) = 6

である。

熊本大学 2018年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

熊本大学 2018年度
文系数学第2問