北海道大学 2025年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を次の条件により定める。

a_{1} = 1, a_{2} = 3,

(n + 1) a_{n + 2} - (2 n + 3) a_{n + 1} + (n + 2) a_{n} = 0 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

(1) $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ とおくと，

b_{n + 1} = \frac{n + 2}{n + 1} b_{n} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

が成り立つことを示せ。

(2) 数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

(3) $n = 1 \sum 225 \frac{1}{a _{n}}$ の値を求めよ。

出典：北海道大学 2025年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

与えられた3項漸化式を，階差 $a_{n + 2} - a_{n + 1}$ と $a_{n + 1} - a_{n}$ が見える形に変形する。 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ とすれば1次の漸化式になり，初期値 $b_{1} = 2$ から $b_{n} = n + 1$ と分かる。次に $a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}$ で復元し，最後は $1/ a_{n} = 2/ (n (n + 1))$ を部分分数分解して望ましい消去和にする。

解答

(1)

与えられた漸化式は $(n + 1) a_{n + 2} - (2 n + 3) a_{n + 1} + (n + 2) a_{n} = 0$ である。ここで $2 n + 3 = (n + 1) + (n + 2)$ なので，左辺をまとめ直すと $(n + 1) (a_{n + 2} - a_{n + 1}) - (n + 2) (a_{n + 1} - a_{n}) = 0$ である。したがって $(n + 1) (a_{n + 2} - a_{n + 1}) = (n + 2) (a_{n + 1} - a_{n})$ となる。 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ だから $(n + 1) b_{n + 1} = (n + 2) b_{n}$ であり， $b_{n + 1} = \frac{n + 2}{n + 1} b_{n}$ が成り立つ。

(2)

まず $b_{1} = a_{2} - a_{1} = 3 - 1 = 2$ である。(1)より $b_{n + 1} = \frac{n + 2}{n + 1} b_{n}$ だから，順に掛け合わせると

b_{n} = b_{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{n + 1}{n} = 2 \cdot \frac{n + 1}{2} = n + 1

である。したがって $a_{n + 1} - a_{n} = n + 1$ である。

よって $n ≧ 1$ に対して

a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 (a_{k + 1} - a_{k}) = 1 + k = 1 \sum n - 1 (k + 1) = 1 + \frac{( n - 1 ) n}{2} + (n - 1) = \frac{n ( n + 1 )}{2}

である。したがって $a_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ である。実際， $n = 1, 2$ で $1, 3$ となり初期条件にも合う。

(3)

(2)より $a_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ であるから $\frac{1}{a _{n}} = \frac{2}{n ( n + 1 )}$ である。ここで $\frac{2}{n ( n + 1 )} = 2 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ と部分分数分解できる。したがって

n = 1 \sum 225 \frac{1}{a _{n}} = 2 n = 1 \sum 225 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 2 (1 - \frac{1}{226}) = \frac{450}{226} = \frac{225}{113}

である。

北海道大学 2025年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2025年度
文系数学前期第3問