問題
関数について考える。のグラフをとおく。
(1) が極大値，極小値をとるようなをそれぞれ求め，の極大値，極小値を求めよ。
(2) 上の点を通り，に接する直線の方程式をすべて求めよ。
出典：北海道大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
(1) は導関数を因数分解し，符号変化から極大・極小を判定する。値の代入まで行い，どの でどちらの極値をとるかを対応させる。(2) は接点の 座標を とおき，接線 が点 を通る条件を作る。与点自体が曲線上にあるため が重解として出ることに注意し，もう1つの接点も求めて直線の方程式に戻す。
解答
(1)
より である。したがって となるのは である。導関数の符号は， で正， で負， で正である。よって で極大， で極小となる。
値を計算すると であり， である。したがって である。
(2)
接点の 座標を とする。このとき接点は であり，その接線は である。この直線が点 を通るから が必要十分条件である。ここで であり， であるから
となる。したがって である。 のとき であり，接点は である。よって接線は すなわち である。 のとき である。この接線は を通るので すなわち である。よって求める直線は である。
別解。点 を通る直線を とおく。この直線と曲線 の交点の 座標は を満たす。左辺は を根にもつので である。接するためには， が重解になるか，または2次式 が重解をもてばよい。 より前者は である。後者は判別式 が となることだから である。これらから同じ2直線 を得る。