問題
整数は条件
を満たすとする。
(1) 不等式を満たすようなをすべて挙げよ。
(2) 不等式を満たすようなをすべて挙げよ。
(3) (2)で求めた各について，頂点と向かい合う辺の長さがそれぞれで与えられるを考える。このようなすべてのについてを求めよ。
出典：北海道大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
候補は から3個を選ぶだけなので， の値ごとに漏れなく列挙する。(1) は三角形の成立条件と同じ で絞る。(2) は (1) より強い条件 を各候補で確認する。(3) は辺 がそれぞれ角 の向かい側にあることに注意し，角 の余弦を余弦定理 から求める。
解答
(1)
なので， の値ごとに調べる。 のとき，候補は だけであり， を満たす。 のとき，候補は である。このうち を満たすのは である。 のとき，候補は である。このうち を満たすのは である。したがって求める組は である。
(2)
を満たす組を調べる。候補を ごとに見ると， である。 では である。 では である。したがって条件を満たす組は である。
(3)
辺 はそれぞれ頂点 と向かい合う辺の長さである。したがって角 の向かい側の辺は長さ であり，余弦定理より である。よって である。 のとき である。 のとき である。したがって である。