問題
を0でない実数とする。をで表される曲線，をで表される直線とし，とは共有点をちょうど2つもつとする。
(1) の値を求めよ。
(2) との共有点の座標をすべて求めよ。
(3) とで囲まれた図形の面積を求めよ。
出典：北海道大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
の増減を調べ，水平線 との交点数を読む。極値は と で，値は と である。 でも交点は2つになるが，問題で とされているため除外し，極大値 を採用する。共有点は方程式を因数分解して求め，面積は接している点を含む区間 で直線から曲線を引いて積分する。
解答
(1)
とおく。微分すると である。したがって， は
する。また である。
水平線 と曲線 が共有点をちょうど2つもつのは，水平線が極値の点で接し，そのほかにもう1点で交わるときである。 のときも で接するが，問題で とされているため除外される。よって である。
(2)
共有点の 座標は を満たす。両辺を移項して整理すると であり，これは と因数分解できる。したがって，共有点の 座標は である。ただし は接点なので重解である。
(3)
区間 では，直線 が曲線 の上側にある。よって求める面積は
である。計算すると
したがって，囲まれた図形の面積は である。