北海道大学 2024年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

次の条件によって定められる数列 ${a_{n}}$ について考える。

a_{1} = 3, a_{n + 1} = 3 a_{n} - \frac{3 ^{n + 1}}{n ( n + 1 )} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

(1) $b_{n} = \frac{a _{n}}{3 ^{n}}$ とおくとき， $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ と $n$ の式で表せ。

(2) 数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

出典：北海道大学 2024年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

与えられた漸化式は $3^{n}$ の因子を含むので，指定どおり $b_{n} = a_{n} / 3^{n}$ とおいて割り算する。すると $b_{n + 1} = b_{n} - 1/ (n (n + 1))$ という階差の形になる。あとは $b_{1} = 1$ を確認し， $1/ (k (k + 1)) = 1/ k - 1/ (k + 1)$ による望ましい消去和を使って $b_{n}$ を求め，最後に $a_{n} = 3^{n} b_{n}$ へ戻す。

解答

(1)

定義より $b_{n + 1} = \frac{a _{n + 1}}{3 ^{n + 1}}$ である。漸化式 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - \frac{3 ^{n + 1}}{n ( n + 1 )}$ を両辺 $3^{n + 1}$ で割ると，

b_{n + 1} = \frac{3 a _{n}}{3 ^{n + 1}} - \frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{a _{n}}{3 ^{n}} - \frac{1}{n ( n + 1 )} = b_{n} - \frac{1}{n ( n + 1 )} .

したがって $b_{n + 1} = b_{n} - \frac{1}{n ( n + 1 )}$ である。

(2)

まず $b_{1} = \frac{a _{1}}{3} = 1$ である。(1)より $b_{k + 1} - b_{k} = - \frac{1}{k ( k + 1 )}$ だから， $k = 1, 2, \dots, n - 1$ について足し合わせると $b_{n} - b_{1} = - \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k ( k + 1 )}$ である。よって $b_{n} = 1 - \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k ( k + 1 )}$ となる。

ここで $\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ であるから，

k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{k ( k + 1 )} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) = 1 - \frac{1}{n}

である。したがって $b_{n} = 1 - (1 - \frac{1}{n}) = \frac{1}{n}$ である。

$a_{n} = 3^{n} b_{n}$ だから，求める一般項は $a_{n} = \frac{3 ^{n}}{n}$ である。

北海道大学 2024年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2024年度
文系数学前期第2問