北海道大学 2024年度
文系数学 前期 第1問

解答

(1)

$2^m\cdot 3^n$ の正の約数は，$2^i{3}^j(0\leqq i\leqq m,0\leqq j\leqq n)$ と一意的に表される。指数 $i$ の選び方は $m+1$ 通り，指数 $j$ の選び方は $n+1$ 通りであるから，正の約数の個数は $(m+1)(n+1)$ である。

(2)

まず $6912=2^8\cdot 3^3$ である。したがって，6912 の正の約数は $2^i{3}^j(0\leqq i\leqq 8,0\leqq j\leqq 3)$ と表される。

この約数が $12=2^2\cdot 3$ で割り切れる条件は $i\geqq 2\text{かつ}j\geqq 1$ である。よって，12で割り切れないものは，この否定として $j=0\text{または}i=0,1$ である。

重複を避けるため，まず $j=0$ のものをすべて足すと $1+2+2^2+\cdots +2^8=2^9-1=511$ である。次に $j=1,2,3$ で $i=0,1$ のものを足すと $(1+2)(3+9+27)=3\cdot 39=117$ である。したがって求める総和は $511+117=628$ である。

別解。全約数の総和から，12で割り切れる約数の総和を引いてもよい。全約数の総和は $(1+2+\cdots +2^8)(1+3+9+27)=511\cdot 40$ である。12で割り切れる約数は $i=2,3,\dots ,8$，$j=1,2,3$ のものなので，その総和は $(2^2+2^3+\cdots +2^8)(3+9+27)=508\cdot 39$ である。よって $511\cdot 40-508\cdot 39=628$ となる。