問題
を実数とする。座標平面上に円と放物線がある。
(1) とに同じ点で接する傾き正の直線が存在するとき，の値およびその接点の座標を求めよ。
(2) (1)で求めたの値を，接点の座標をとするとき，連立不等式
の表す領域の面積を求めよ。
出典：北海道大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
(1) は共通接点を とし，円の接線の傾き と放物線の接線の傾き を一致させる。傾き正より と分かるので，， が選ばれる。(2) は不等式の向きを確認し，水平線 で切る。 で，円の外側かつ放物線の上側となる左右2つの幅を積分する。円部分の積分は扇形と三角形の面積で処理する。
解答
(1)
共通接点を とする。円 の接線の傾きは， のとき である。一方，放物線 の接線の傾きは である。
同じ点で接し，しかも傾きが正であるから であり， が成り立つ。 なので である。円上の点だから より である。接線の傾き が正なので を選ぶ。
この点は放物線上にもあるので である。したがって であり，接点は である。
(2)
(1)より である。不等式は である。第2式から でなければならないので， が必要である。また円の外側で だから，実際の の範囲は である。
この範囲で水平に切ると，放物線の条件から であり，円の外側の条件から である。したがって左右対称な2つの部分があり，面積 は である。
まず
である。
次に は，単位円の右半分で にある部分の面積である。これは中心角 の扇形から，底辺 ，高さ の直角三角形を除いたものなので である。
よって
である。