問題
三角形は辺の長さが，，であるとする。また，の2等分線と直線との交点をとし，頂点における外角の2等分線と直線との交点をとする。
(1) を，を用いて表せ。また，の値を求めよ。
(2) を，を用いて表せ。また，の値を求めよ。
出典：北海道大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
(1) は角の二等分線定理から とし，内分点公式で を出す。長さは余弦定理で を求めてから計算する。(2) は頂点 の外角二等分線の方向を， 方向の単位ベクトルと 方向の単位ベクトルの差として作る。 が直線 とその外角二等分線上にあることを係数比較して を決める。
解答
(1)
は の二等分線と直線 の交点である。角の二等分線定理より である。したがって内分点公式から
である。
次に を求める。余弦定理より であるから， となり， である。よって
である。したがって である。
(2)
頂点 から見た 方向の単位ベクトルは
であり， 方向の単位ベクトルは である。外角の二等分線の方向はこれらの差の方向であるから，
に平行である。 は直線 上にあるので，ある実数 を用いて
と表せる。また， は を通る外角二等分線上にあるので，ある実数 を用いて
とも表せる。 と は平行でないから係数を比較できる。 の係数から すなわち である。 の係数から であり， を代入すると となる。よって である。
したがって である。これは に等しいので， である。