問題
座標平面上に2つの放物線とがある。
(1) との両方に接する直線をすべて求めよ。
(2) (1)で求めた直線のうち傾きが負であるものをとする。，軸およびが囲む部分の面積を求めよ。
出典：北海道大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
共通接線の接点をそれぞれの放物線上に置き、接線の傾きと切片が一致する条件を作る。のでの接線、のでの接線を並べ、傾きの一致からbをaで表して切片条件へ代入する。(2)では傾きが負の接線を選び、接点からx軸との交点までの区間と、x軸との交点から原点までの区間に分けて、上側の曲線を確認して積分する。
解答
(1)
の における接線を求める。導関数は であるから、接線は すなわち である。
次に の における接線を求める。導関数は なので、接線は であり、整理して である。
これらが同じ直線になるためには、傾きと切片がそれぞれ一致すればよい。したがって である。第1式から であり、これを第2式に代入すると である。両辺を整理して となる。よって である。
それぞれ接線 に代入すると、共通接線は である。
(2)
傾きが負であるものは である。この直線は と で接し、 軸とは より で交わる。
求める図形は、 では上側が 、下側が である。また では上側が 、下側が 軸である。したがって面積は
である。
第1の積分は
である。第2の積分は
である。よって求める面積は である。
別解。(1)は共通接線を とおいても求められる。 に接する条件は、方程式 が重解をもつことなので である。 に接する条件は、 が重解をもつことなので である。この2式を連立しても、 が得られ、同じ2本の共通接線に至る。