北海道大学 2020年度
文系数学 前期 第1問

解答

(1)

直線 $l:y=kx+1$ と放物線 $C:y=x^2$ の交点の $x$ 座標は $x^2=kx+1$ すなわち $x^2-kx-1=0$ の解である。この2解を、小さい方から $u,v$ とおくと、解と係数の関係より $u+v=k,uv=-1$ である。

点 $P,Q$ はどちらも直線 $l$ 上にあるので、線分 $PQ$ の中点 $M$ も直線 $l$ 上にある。したがって $M$ の $x$ 座標は $\frac{u+v}{2}=\frac{k}{2}$ であり、$y$ 座標は $k\cdot \frac{k}{2}+1=\frac{k^2}{2}+1$ である。よって $M\left(\frac{k}{2},\frac{k^2}{2}+1\right)$ である。

(2)

直線 $PQ$ は $l$ そのものなので、その傾きは $k$ である。したがって、線分 $PQ$ の垂直二等分線 $m$ の傾きは $-\frac{1}{k}$ である。$m$ は $M\left(\frac{k}{2},\frac{k^2}{2}+1\right)$ を通るから $y-\left(\frac{k^2}{2}+1\right)=-\frac{1}{k}\left(x-\frac{k}{2}\right)$ であり、整理して $y=-\frac{1}{k}x+\frac{k^2}{2}+\frac{3}{2}$ となる。 $m$ と $C:y=x^2$ の交点 $R,S$ の $x$ 座標を $r,s$ とする。これらは $x^2=-\frac{1}{k}x+\frac{k^2}{2}+\frac{3}{2}$ すなわち $x^2+\frac{1}{k}x-\frac{k^2+3}{2}=0$ の2解である。よって $r+s=-\frac{1}{k},rs=-\frac{k^2+3}{2}$ である。

点 $R,S$ は放物線上にあるから、座標は $(r,r^2),(s,s^2)$ である。したがって中点 $N$ の $y$ 座標は $\frac{r^2+s^2}{2}=\frac{(r+s{)}^2-2rs}{2}$ である。ここに上の関係を代入して $\frac{r^2+s^2}{2}=\frac{\frac{1}{k^2}+k^2+3}{2}$ を得る。 $k>0$ なので $k^2+\frac{1}{k^2}\geqq 2$ であり、等号は $k^2=1$、すなわち $k=1$ のときに限る。したがって $N$ の $y$ 座標が最小となるのは $k=1$ のときである。

このとき交点の $x$ 座標は $x^2-x-1=0$ の2解なので $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ である。$P$ は $x$ 座標が小さい方、$Q$ は大きい方であり、直線は $y=x+1$ だから

である。