問題
関数
を考える。
(1) とおく。をの式で表せ。
(2) の最大値と最小値，およびそのときのの値を求めよ。
(3) を実数の定数とする。となるがちょうど2個であるようなの範囲を求めよ。
出典：北海道大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
によりと変形し、をtの二次関数に帰着する。次ににおけるtの範囲と、同じtを与えるの個数を調べる。最大最小はの頂点と端点で決まり、解の個数はのt解の位置がかかで重みが変わることを使って数える。
解答
(1)
とおく。両辺を2乗すると である。したがって である。また なので
である。
(2)
である。 では だから である。 とおくと、これは上に凸の二次関数である。平方完成すると
であるから、最大値は であり、このとき である。すなわち より である。範囲 においてこれをみたすのは だけなので である。
最小値は、上に凸の二次関数を区間 で見るので、端点で比較すればよい。 だから、最小値は であり、このとき である。したがって より である。
(3)
まず、 の値に対して対応する の個数を確認する。 で、 は を動く。したがって では対応する は1個、 では対応する は2個、 では1個である。
次に の解の位置を調べる。 は で最大値 をとり、そこから右側では単調減少する。また である。 のとき、 は に2つの解をもち、それぞれ1個ずつの を与えるので、解はちょうど2個である。 のときも、 と のもう1つの解に対応して、やはり はちょうど2個である。
一方、 のとき、 は に1つの解をもち、その に対応する が2個ある。 のときは となり、これに対応する が2個ある。
以上より、 となる がちょうど2個であるような の範囲は である。