問題
とし，曲線をとする。また，とし，の範囲におけるの長さをとする。ただし，はの自然対数であり，は自然対数の底である。
(1) をで表せ。
(2) を座標がであるような上の点とし，この点でのの接線をとする。をかつを満たす上の点とするとき，とをで表せ。
(3) (2)において，が1より大きい実数を動くとき，点の軌跡を座標平面上に図示せよ。
出典：北海道大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
は双曲線関数型だが、必要なのは と という恒等的な整理である。(1)は曲線長の公式からすぐに積分できる。(2)では点 の座標、接線の傾き、接線方向の単位ベクトルを求め、距離 だけ左向きに進むことで を出す。(3)は の座標が となるので、単位円の第1象限の開いた円弧であることを示す。
解答
(1)
より である。したがって
である。 なので である。
よって曲線の長さは
である。
(2)
点 の座標は である。また、接線 の傾きは である。これを とおく。
接線方向のベクトルは であり、その長さは
である。 は を満たすので、 から左向きに接線上を距離 だけ進む。したがって、 座標の減少量は であり、 座標の減少量は である。
よって である。また
である。
(3)
(2)より である。 とおくと である。したがって である。
また なので である。逆に、単位円の第1象限部分で 、 を満たす点は、 が から まで動くのに対応して一意に で表される。
したがって軌跡は、単位円 の第1象限の円弧のうち、端点 を除いた部分である。