北海道大学 2018年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

十分な数の赤玉と青玉が手元にあるものとする。 $a$ と $n$ を自然数とし，はじめに，空の袋に $a$ 個の赤玉を入れておく。以下の試行を繰り返す。袋の中から玉を1個取り出し，それが赤玉ならば青玉を1個袋に入れ，青玉ならば赤玉を1個袋に入れる。さらに，取り出した玉自体も袋に戻し，袋の中の玉をよくかき混ぜる。結果として，1回の試行ごとに袋の中にある玉は1個ずつ増える。この試行を繰り返したとき， $n$ 回目の試行後に袋に入っている赤玉の個数が $k$ である確率を $p_{n} (k)$ で表す。例えば， $p_{1} (k)$ の値は $k$ が $a$ のとき1，そのほかの場合は0である。また， $M_{n} = k = 0 \sum a + n k p_{n} (k)$ とする。

(1) $p_{2} (k)$ を求めよ。

(2) $p_{n + 1} (k + 1) = B p_{n} (k) + C p_{n} (k + 1)$ と表すとき， $B$ と $C$ を $a$ ， $k$ ， $n$ で表せ。

(3) $M_{1} = a$ ， $M_{n + 1} = \frac{a + n - 1}{a + n} M_{n} + 1$ を示せ。

(4) (3)の式を満たす数列 ${M_{n}}$ の一般項を求めよ。さらに， $n \to \infty lim \frac{M _{n}}{n}$ を求めよ。

出典：北海道大学 2018年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

試行後の赤玉数だけを状態として追う。 $n$ 回目の試行後には袋の玉の総数が $a + n$ 個であることを常に確認する。(1)は1回目後の状態から2回目を直接数える。(2)では、 $n + 1$ 回目後に赤玉が $k + 1$ 個になる経路は、直前に $k$ 個で青を引く場合と、直前に $k + 1$ 個で赤を引く場合の2つである。(3)は次回赤玉が増える確率を条件付き期待値として足す。(4)は一次漸化式を積で展開し、係数が望遠鏡型に消えることを使って一般項を求める。

解答

(1)

はじめ袋には赤玉が $a$ 個だけ入っている。1回目の試行では必ず赤玉を取り出すので、青玉が1個追加され、取り出した赤玉も戻される。したがって1回目の試行後、袋には赤玉 $a$ 個、青玉1個が入っている。

2回目の試行で赤玉を取り出す確率は $\frac{a}{a + 1}$ である。この場合、青玉が1個追加されるので、赤玉の個数は $a$ のままである。一方、2回目に青玉を取り出す確率は $\frac{1}{a + 1}$ であり、この場合は赤玉が1個追加され、赤玉の個数は $a + 1$ になる。

よって $p_{2} (a) = \frac{a}{a + 1}, p_{2} (a + 1) = \frac{1}{a + 1}$ であり、それ以外の $k$ では $p_{2} (k) = 0$ である。

(2)

$n$ 回目の試行後には、袋の中の玉は全部で $a + n$ 個である。 $n + 1$ 回目の試行後に赤玉が $k + 1$ 個になるには、次の2通りがある。まず、 $n$ 回目の試行後に赤玉が $k$ 個で、次に青玉を取り出す場合である。このとき青玉の個数は $a + n - k$ 個なので、その確率は $\frac{a + n - k}{a + n}$ である。したがって $B = \frac{a + n - k}{a + n}$ である。

もう1つは、 $n$ 回目の試行後に赤玉が $k + 1$ 個で、次に赤玉を取り出す場合である。この場合、赤玉の個数は増えず $k + 1$ 個のままである。その確率は $\frac{k + 1}{a + n}$ である。したがって $C = \frac{k + 1}{a + n}$ である。よって $B = \frac{a + n - k}{a + n}, C = \frac{k + 1}{a + n}$ である。

(3)

$n$ 回目の試行後の赤玉の個数を $K$ とする。このとき袋の総数は $a + n$ 個であり、青玉の個数は $a + n - K$ 個である。次の試行で青玉を取り出すと赤玉が1個増え、赤玉を取り出すと赤玉の個数は変わらない。したがって、 $K$ が与えられたとき、次回後の赤玉数の期待値は $K + \frac{a + n - K}{a + n}$ である。

期待値を取ると

M_{n + 1} = M_{n} + \frac{a + n - M _{n}}{a + n} = \frac{a + n - 1}{a + n} M_{n} + 1

である。また(1)の前に述べた通り、1回目の試行後の赤玉の個数は必ず $a$ なので $M_{1} = a$ である。

(4)

漸化式 $M_{n + 1} = \frac{a + n - 1}{a + n} M_{n} + 1$ を繰り返して解く。 $j = 1, 2, \dots, n - 1$ で現れる係数 $\frac{a + j - 1}{a + j}$ の積は望遠鏡型に消える。 $M_{1} = a$ の寄与は $a \cdot \frac{a}{a + n - 1} = \frac{a ^{2}}{a + n - 1}$ である。また、 $r$ 回目から加わる定数1の寄与は、最後まで進む間に $\frac{a + r}{a + n - 1}$ 倍される。したがって

M_{n} = \frac{a ^{2}}{a + n - 1} + r = 1 \sum n - 1 \frac{a + r}{a + n - 1} = \frac{a ^{2} + ( n - 1 ) a + \frac{n ( n - 1 )}{2}}{a + n - 1} = a + \frac{n ( n - 1 )}{2 ( a + n - 1 )}

である。よって $M_{n} = a + \frac{n ( n - 1 )}{2 ( a + n - 1 )}$ である。

さらに $\frac{M _{n}}{n} = \frac{a}{n} + \frac{n - 1}{2 ( a + n - 1 )}$ だから $n \to \infty lim \frac{M _{n}}{n} = \frac{1}{2}$ である。

北海道大学 2018年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

北海道大学 2018年度
後期・理系数学後期第3問