問題
を自然数とする。
(1) 次の等式を示せ。
(2) とおく。は整数であることを示せ。また，をで割った余りはであることを示せ。
(3) 実数に対し，はを超えない最大の整数を表す。をで割った余りを求めよ。
出典：北海道大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
(1)は等比数列型の恒等式であり、左辺を展開して隣り合う項が打ち消し合うことを示す。(2)では 、 を(1)に代入する。得られる和の形から が整数であることが分かり、 で割った余りは最後の項 だけが残る。(3)では分数を と正の真分数の和に分け、床関数の値が そのものになることを示す。
解答
(1)
左辺を展開する。
である。中間の項はすべて打ち消し合い、 だけが残る。よって である。
(2)
(1)で とおくと
である。左辺は であり、右辺は整数の和である。したがって は整数である。
さらに右辺を で割った余りを考える。最後の項 以外の項はすべて を因数にもつので、 で割り切れる。また自然数 について である。したがって を で割った余りは である。
(3)
である。ここで は自然数なので が成り立つ。実際、 では であり、 では である。
したがって である。(2)より、 を で割った余りは であったから、求める余りは である。