問題
，を実数とし，関数が
を満たすとする。
(1) の値をを用いて表せ。
(2) 関数がの範囲で極大値を持つとする。このような，が満たす条件を求めよ。また，点の存在範囲を座標平面上に図示せよ。
出典：北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
未知定数 を置き、与式を で積分して を決める。極大条件は の符号変化で判定する。極大点は のとき であり、これが に入る条件を の領域として表す。
解答
(1)
とおく。与式は である。両辺を で積分すると である。奇関数の項は積分すると0なので となる。したがって である。 だから である。
(2)
導関数は である。極値をもつには が必要で、このとき停留点は である。 は上に開く二次式なので、 で正から負に変わり、ここが極大点である。一方、 は極小点である。
したがって の範囲で極大値をもつための条件は である。これは と合わせて と同値である。
よって点 の存在範囲は、、、 を満たす領域である。座標平面では、直線 の右側、 の上側、放物線 の下側で、境界はすべて含まない。