問題
正四面体の頂点を移動する点がある。点は，1秒ごとに，隣の3頂点のいずれかに等しい確率で移るか，もとの頂点に確率で留まる。初め頂点にいた点が，秒後に頂点にいる確率をとする。ただし，とし，は自然数とする。
(1) 数列の漸化式を求めよ。
(2) 確率を求めよ。
出典：北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
頂点 にいるか、 以外にいるかの2状態にまとめる。 にいるとき次も にいる確率は 、 以外にいるとき次に へ移る確率は なので一次漸化式が立つ。定数解 を引いて等比数列に直し、初期値 を代入する。
解答
(1)
秒後に頂点 にいる確率を とする。はじめ にいるので である。 秒後に にいる場合、次の1秒で にいるためにはその場に留まればよいので、その確率は である。一方、 秒後に 以外の頂点にいる場合、正四面体ではその頂点から は隣の3頂点の1つなので、次に へ移る確率は である。したがって である。整理して を得る。
(2)
漸化式の定数解を求めると、 より である。よって となる。 だから であり、 である。したがって となる。