問題
自然数の2乗となる数を平方数という。
(1) 自然数，，に対して，が成り立つとき，
が成り立つことを示せ。
(2) が平方数となるような自然数をすべて求めよ。
出典：北海道大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
平方数を と表すと、 は自然数になる。与式を について解き、 として から下から評価する。(2) では を代入して の候補を に絞り、それぞれ一次方程式を解いて自然数解を確認する。
解答
(1)
より、 である。右辺を展開すると となる。ここで は自然数なので であり、 である。また だから である。
(2)
が平方数であるとする。 だから、その平方根は より大きい自然数であり、ある自然数 を用いて と書ける。(1) より である。 では右辺は 、 では 、 では なので、可能性は に限られる。
また (1) の計算から である。 のとき より である。 のとき より である。いずれも実際に条件を満たすので、求める自然数は である。