問題
空間の2点，を通る直線をとし，2点，を通る直線をとする。を定数として，上にも上にもない点を考える。
(1) からに下ろした垂線との交点をとし，からに下ろした垂線との交点をとする。，の座標をそれぞれを用いて表せ。
(2) を中心とし，とがともに接するような球面が存在するための条件をの関係式で表せ。
(3) と定数が(2)の条件をみたすとき，平面上の点の軌跡が放物線であることを示し，その焦点と準線をを用いて表せ。
出典：北海道大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
直線とをそれぞれパラメータ表示し，垂線の足は方向ベクトルとの内積が0になる条件で求める。球面が両直線に接するには，中心から2直線までの距離が等しければよいので，を整理する。(3)ではその条件をの標準形に直し，放物線の焦点と準線を読む。
解答
(1)
直線は と表せる。方向ベクトルはである。がからに下ろした垂線の足であるためには がと垂直であればよい。したがって であり である。よって である。
直線は と表せ，方向ベクトルはである。が垂線の足であるためには であればよいからである。したがって である。
(2)
中心の球面がとの両方に接するためには，からまでの距離と，からまでの距離が等しければよい。すなわち である。
(1)の結果から
である。また である。したがって条件は である。整理すると である。
(3)
(2)の式をについて整理する。 である。ここで左辺に移すために平方完成すると である。 とおくと である。これは軸の正の向きに開く放物線であり，焦点は，準線はである。元の座標に戻すと，焦点は であり，準線は である。したがって点の軌跡は放物線である。