北海道大学 2016年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

複素数平面上の点0を中心とする半径2の円 $C$ 上に点 $z$ がある。 $a$ を実数の定数とし，

w = z^{2} - 2 a z + 1

とおく。

(1) $∣ w ∣^{2}$ を $z$ の実部 $x$ と $a$ を用いて表せ。

(2) 点 $z$ が $C$ 上を一周するとき， $∣ w ∣$ の最小値を $a$ を用いて表せ。

出典：北海道大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

$∣ z ∣ = 2$ なので $z = x + i y$ ， $x^{2} + y^{2} = 4$ とおき， $w$ の実部・虚部を $x, y, a$ で表す。 $y^{2} = 4 - x^{2}$ を用いて $∣ w ∣^{2}$ を $x$ だけの二次式に直す。(2)は $- 2 ≦ x ≦ 2$ 上でその二次式の最小値を求め，頂点 $x = 5 a /2$ が区間内にあるかどうかで場合分けする。

解答

(1)

$z = x + i y$ とおく。 $z$ は中心0，半径2の円上にあるので $x^{2} + y^{2} = 4$ である。まず $z^{2} = (x^{2} - y^{2}) + 2 i x y = (2 x^{2} - 4) + 2 i x y$ であるから $w = z^{2} - 2 a z + 1 = (2 x^{2} - 2 a x - 3) + 2 y (x - a) i$ である。したがって $∣ w ∣^{2} = (2 x^{2} - 2 a x - 3)^{2} + 4 y^{2} (x - a)^{2}$ である。ここで $y^{2} = 4 - x^{2}$ を代入して整理すると $∣ w ∣^{2} = 4 x^{2} - 20 a x + 16 a^{2} + 9$ である。

(2)

(1)より， $∣ w ∣$ の最小値を求めるには $F (x) = 4 x^{2} - 20 a x + 16 a^{2} + 9$ を $- 2 ≦ x ≦ 2$ で最小にすればよい。平方完成すると $F (x) = 4 (x - \frac{5 a}{2})^{2} + 9 (1 - a^{2})$ である。

頂点 $x = \frac{5 a}{2}$ が区間 $[- 2, 2]$ に入るのは $- \frac{4}{5} ≦ a ≦ \frac{4}{5}$ のときである。このとき $min ∣ w ∣^{2} = 9 (1 - a^{2})$ であり，最小値は $3 1 - a^{2}$ である。 $a > \frac{4}{5}$ のとき，頂点は区間の右側にあるので最小は $x = 2$ で生じる。このとき $min ∣ w ∣^{2} = (4 a - 5)^{2}$ だから最小値は $∣4 a - 5∣$ である。 $a < - \frac{4}{5}$ のとき，頂点は区間の左側にあるので最小は $x = - 2$ で生じる。このとき $min ∣ w ∣^{2} = (4 a + 5)^{2}$ だから最小値は $∣4 a + 5∣$ である。以上をまとめると

⎩ ⎨ ⎧ ∣4 a + 5∣ 3 1 - a^{2} ∣4 a - 5∣ (a < - \frac{4}{5}), (- \frac{4}{5} ≦ a ≦ \frac{4}{5}), (a > \frac{4}{5})

である。

北海道大学 2016年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2016年度
理系数学前期第1問