北海道大学 2014年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$△ A B C$ を線分 $B C$ を斜辺とする直角二等辺三角形とし，その外接円の中心を $O$ とする。正の実数 $p$ に対して， $B C$ を $(p + 1) : p$ に外分する点を $D$ とし，線分 $A D$ と $△ A B C$ の外接円との交点で $A$ と異なる点を $X$ とする。

(1) ベクトル $O D$ を $O C$ ， $p$ を用いて表せ。

(2) ベクトル $O X$ を $O A$ ， $O C$ ， $p$ を用いて表せ。

出典：北海道大学 2014年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

直角三角形の外心は斜辺 $B C$ の中点であるため、 $O$ を原点に見ると $O B = - O C$ となる。また直角二等辺三角形より $O A$ と $O C$ は垂直で長さが等しい。(1) は外分公式をこの配置で使う。(2) は直線 $A D$ 上の点を $O A$ と $O C$ の一次結合で表し、外接円上にある条件、すなわち長さが半径に等しい条件を立てる。 $A$ に対応する解を除いて、もう一つの交点 $X$ を得る。

解答

(1)

$△ A B C$ は $B C$ を斜辺とする直角三角形であるから、その外接円の中心 $O$ は斜辺 $B C$ の中点である。したがって $O B = - O C$ である。

点 $D$ は $B C$ を $(p + 1) : p$ に外分する。外分公式より

O D = \frac{( p + 1 ) O C - p O B}{( p + 1 ) - p}

である。分母は1であり、 $O B = - O C$ だから

O D = (p + 1) O C - p (- O C) = (2 p + 1) O C

となる。よって $O D = (2 p + 1) O C$ である。

(2)

$a = O A, c = O C$ とおく。 $△ A B C$ は直角二等辺三角形で、 $O$ は斜辺の中点であるから $∣ a ∣ = ∣ c ∣, a \cdot c = 0$ である。

(1)より $D$ の位置ベクトルは $(2 p + 1) c$ である。直線 $A D$ 上の点は、実数 $λ$ を用いて $O Y = (1 - λ) a + λ (2 p + 1) c$ と表せる。 $λ = 0$ のとき $Y = A$ 、 $λ = 1$ のとき $Y = D$ である。

点 $Y$ が外接円上にある条件は $∣ O Y ∣^{2} = ∣ a ∣^{2}$ である。 $a ⊥ c$ 、 $∣ a ∣ = ∣ c ∣$ を用いると ${(1 - λ)^{2} + λ^{2} (2 p + 1)^{2}} ∣ a ∣^{2} = ∣ a ∣^{2}$ である。半径は0でないので $(1 - λ)^{2} + λ^{2} (2 p + 1)^{2} = 1$ を得る。展開して $1 - 2 λ + λ^{2} {1 + (2 p + 1)^{2}} = 1$ より $λ [- 2 + λ {1 + (2 p + 1)^{2}}] = 0$ である。 $λ = 0$ は点 $A$ に対応する。求める点 $X$ は $A$ と異なる交点なので $λ = \frac{2}{1 + ( 2 p + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{2 p ^{2} + 2 p + 1}$ である。したがって

1 - λ = 1 - \frac{1}{2 p ^{2} + 2 p + 1} = \frac{2 p ^{2} + 2 p}{2 p ^{2} + 2 p + 1} = \frac{2 p ( p + 1 )}{2 p ^{2} + 2 p + 1}

であり、また $λ (2 p + 1) = \frac{2 p + 1}{2 p ^{2} + 2 p + 1}$ である。

以上より

O X = \frac{2 p ( p + 1 )}{2 p ^{2} + 2 p + 1} O A + \frac{2 p + 1}{2 p ^{2} + 2 p + 1} O C

である。

北海道大学 2014年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2014年度
文系数学前期第3問