北海道大学 2014年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

次の条件で定められる数列 ${a_{n}}$ を考える。

a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + 3 a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

(1) 以下が成立するように，実数 $s, t$ $(s > t)$ を定めよ。

{a_{n + 2} - s a_{n + 1} = t (a_{n + 1} - s a_{n}) a_{n + 2} - t a_{n + 1} = s (a_{n + 1} - t a_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots)

(2) 一般項 $a_{n}$ を求めよ。

出典：北海道大学 2014年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

与えられた2つの式は、2次漸化式を2つの1次漸化式に分解するための形である。まず第1式を展開して、元の漸化式 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 3 a_{n}$ と係数を比較し、 $s + t$ と $s t$ を決める。次に $s, t$ を特性方程式の2根として求める。(2) では $a_{n + 1} - t a_{n}$ などが等比的に変化すること、または一般形 $A s^{n - 1} + B t^{n - 1}$ を初期条件で決めることにより、指数のずれを確認して一般項を出す。

解答

(1)

第1式 $a_{n + 2} - s a_{n + 1} = t (a_{n + 1} - s a_{n})$ を展開すると $a_{n + 2} - s a_{n + 1} = t a_{n + 1} - s t a_{n}$ である。したがって $a_{n + 2} = (s + t) a_{n + 1} - s t a_{n}$ を得る。

これが問題で与えられた $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 3 a_{n}$ とすべての $n$ について一致するためには $s + t = 1, - s t = 3$ すなわち $s + t = 1, s t = - 3$ であればよい。第2式からも同じ条件が得られる。

よって $s, t$ は2次方程式 $r^{2} - r - 3 = 0$ の2根である。解の公式より $r = \frac{1 \pm 13}{2}$ であり、 $s > t$ だから $s = \frac{1 + 13}{2}, t = \frac{1 - 13}{2}$ である。

(2)

(1)で求めた $s, t$ は $s + t = 1, s t = - 3$ を満たす。したがって、数列 $s^{n - 1}$ も $t^{n - 1}$ も同じ漸化式 $x_{n + 2} = x_{n + 1} + 3 x_{n}$ を満たす。そこで $a_{n} = A s^{n - 1} + B t^{n - 1}$ とおく。

初期条件 $a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = 1$ より $A + B = 1, A s + B t = 1$ である。第1式から $B = 1 - A$ として第2式へ代入すると $A (s - t) + t = 1$ である。ここで $s - t = 13, 1 - t = s$ だから $A = \frac{s}{13}$ である。同様に $B = 1 - A = \frac{13 - s}{13} = - \frac{t}{13}$ となる。

よって

a_{n} = \frac{s}{13} s^{n - 1} - \frac{t}{13} t^{n - 1} = \frac{s ^{n} - t ^{n}}{13}

である。したがって

a_{n} = \frac{1}{13} {(\frac{1 + 13}{2})^{n} - (\frac{1 - 13}{2})^{n}}

である。 $n = 1, 2$ を代入するといずれも1になり、初期条件とも一致する。

北海道大学 2014年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2014年度
文系数学前期第2問