問題
2つの放物線
がある。点 におけるの接線をとする。
(1) とが共有点を持たないためのに関する条件を求めよ。
(2) と平行なの接線の方程式と，との接点の座標を，を用いて表せ。
(3) とが共有点を持たないとする。(2)で求めたとを結ぶ線分がと垂直になるとき，を求めよ。
方針
(1) は共有点の x 座標が満たす2次方程式を作り、共有点を持たないことを判別式が負であることに言い換える。(2) は の接線の傾き と の接線の傾きを一致させて接点を決め、点傾き式で接線を書く。(3) は が と垂直である条件を、傾きの積または方向ベクトルの内積で立てる。最後に (1) の条件 を使い、因数分解後に余分な2次因子が実数解を持たないことまで確認する。
解答
(1)
共有点の 座標は を満たす。右辺を展開して左辺へ移すと より である。したがって、共有点を持つかどうかはこの2次方程式が実数解を持つかどうかで決まる。
判別式を とすると
である。問題の条件より であり、このとき である。共有点を持たないためには が必要十分なので すなわち である。なお では接するので、共有点を持たない条件には含まれない。
(2)
の導関数は である。したがって点 における接線 の傾きは である。
一方、 の における接線の傾きは である。 が と平行であるためには であればよいから である。よって接点 は である。
接線 は、点 を通り傾き の直線なので である。整理して を得る。
(3)
(1)より、この設問では である。 と の座標差は
である。接線 の方向ベクトルは と取れる。したがって が と垂直である条件は、内積が0であること、すなわち である。展開すると であり を得る。
左辺を因数分解すると である。ここで だから、2次方程式 の判別式は であり、実数解を持たない。よって残る可能性は だけである。したがって である。実際、この値は上で得た垂直条件を満たす。