問題
平面上に3点，，がある。不等式の表す領域を，不等式の表す領域をとする。
(1) 点が領域に含まれ，点と点が領域に含まれるような，の条件を連立不等式で表せ。
(2) (1)で求めた条件を満たす点の領域を平面上に図示せよ。
(3) (2)で求めた領域の面積を求めよ。
出典：北海道大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
3点が放物線 の上側・下側にある条件を、点 の不等式へ直す。下端は 、上端は と の小さい方であり、両者の大小は で切り替わる。領域が空でない範囲 を押さえてから、2つの積分に分けて面積を求める。
解答
(1)
点 が領域 に含まれる条件は である。整理すると である。
点 と点 が領域 に含まれる条件はそれぞれ である。したがって求める連立不等式は である。
(2)
上端は と の小さい方である。両者を比較すると は すなわち と同値である。
また領域が空でないためには、下端 が上端以下でなければならない。まず より であり、さらに より である。
よって領域 は、 平面において の部分と、 の部分を合わせたものである。図示すると、下側の放物線 と、上側の放物線 、 で囲まれる領域であり、上側の境界は で切り替わる。端点は
である。
(3)
面積は、上端が切り替わる で分けて計算する。 では上端が なので、高さは である。したがってこの部分の面積は である。 では上端が なので、高さは である。したがってこの部分の面積は である。
よって領域 の面積は である。