北海道大学 2012年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

$m > 0$ ， $n > 0$ ， $0 < x < 1$ とする。 $△ O A B$ の辺 $O A$ を $m : n$ に内分する点を $P$ ，辺 $O B$ を $n : m$ に内分する点を $Q$ とする。また，線分 $A Q$ を $1 : x$ に外分する点を $S$ ，線分 $B P$ を $1 : x$ に外分する点を $T$ とする。

(1) $O A = a$ ， $O B = b$ とするとき， $O S$ を $a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ ， $x$ で表せ。

(2) 3点 $O$ ， $S$ ， $T$ が一直線上にあるとき， $x$ を $m$ ， $n$ で表せ。

出典：北海道大学 2012年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

点がどの端点からどの比で内分・外分されているかを先に固定し、位置ベクトルの係数を正確に出す。外分比が $1 : x$ で $0 < x < 1$ なので、 $S$ は $(O Q - x O A) / (1 - x)$ 、 $T$ は $(O P - x O B) / (1 - x)$ と表せる。最後は $a, b$ が三角形の2辺方向で一次独立であることを用い、 $O S$ と $O T$ の係数の比が一致する条件を解く。

解答

(1)

$P$ は辺 $O A$ を $m : n$ に内分するので $O P = \frac{m}{m + n} a$ である。また $Q$ は辺 $O B$ を $n : m$ に内分するので $O Q = \frac{n}{m + n} b$ である。

点 $S$ は線分 $A Q$ を $1 : x$ に外分する。すなわち $A S : S Q = 1 : x$ であり、 $0 < x < 1$ だから外分点の公式より

O S = \frac{O Q - x O A}{1 - x}

となる。したがって

O S = - \frac{x}{1 - x} a + \frac{n}{( m + n ) ( 1 - x )} b

である。

(2)

同様に、点 $T$ は線分 $B P$ を $1 : x$ に外分するので

O T = \frac{O P - x O B}{1 - x} = \frac{m}{( m + n ) ( 1 - x )} a - \frac{x}{1 - x} b

である。

3点 $O, S, T$ が一直線上にあることは、 $O S$ と $O T$ が平行であることと同値である。 $a, b$ は三角形 $O A B$ の2辺方向なので一次独立であり、係数の行列式が0になればよい。よって

(- \frac{x}{1 - x}) (- \frac{x}{1 - x}) - \frac{n}{( m + n ) ( 1 - x )} \frac{m}{( m + n ) ( 1 - x )} = 0

である。分母は正なので $x^{2} - \frac{mn}{( m + n ) ^{2}} = 0$ を得る。 $x > 0$ だから $x = \frac{mn}{m + n}$ である。なお $(m + n)^{2} - mn = m^{2} + mn + n^{2} > 0$ より、この値は確かに $0 < x < 1$ を満たす。

北海道大学 2012年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2012年度
文系数学前期第1問