北海道大学 2012年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

$- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ で定義された関数

f (θ) = 4 cos 2 θ sin θ + 32 cos 2 θ - 4 sin θ

を考える。

(1) $x = sin θ$ とおく。 $f (θ)$ を $x$ で表せ。

(2) $f (θ)$ の最大値と最小値，およびそのときの $θ$ の値を求めよ。

出典：北海道大学 2012年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

区間 $- π /2 ≦ θ ≦ π /2$ では $x = sin θ$ が $[- 1, 1]$ を一対一に動くので、三角関数の最大最小を三次関数の最大最小に置き換える。 $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ で $F (x)$ を作り、端点 $x = \pm 1$ と停留点 $x = 0, - 2 /2$ の値をすべて比較する。

解答

(1)

$x = sin θ$ とおく。二倍角の公式より $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - 2 x^{2}$ である。したがって $f (θ) = 4 (1 - 2 x^{2}) x + 32 (1 - 2 x^{2}) - 4 x$ であり、整理して $f (θ) = - 8 x^{3} - 62 x^{2} + 32$ である。

(2)

$- π /2 ≦ θ ≦ π /2$ では $x = sin θ$ は $[- 1, 1]$ を一対一に動く。よって $F (x) = - 8 x^{3} - 62 x^{2} + 32$ の $- 1 ≦ x ≦ 1$ における最大値・最小値を調べればよい。

微分すると $F^{'} (x) = - 24 x^{2} - 122 x = - 12 x (2 x + 2)$ である。したがって停留点は $x = 0, x = - \frac{2}{2}$ である。端点も含めて値を計算すると $F (- 1) = 8 - 32, F (- \frac{2}{2}) = 22,$ $F (0) = 32, F (1) = - 8 - 32$ である。これらを比較すると $- 8 - 32 < 22 < 8 - 32 < 32$ となる。

よって最大値は $32$ であり、そのとき $x = 0$ 、すなわち $θ = 0$ である。最小値は $- 8 - 32$ であり、そのとき $x = 1$ 、すなわち $θ = \frac{π}{2}$ である。

北海道大学 2012年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2012年度
文系数学前期第2問