北海道大学 2011年度
文系数学 前期 第3問

解答

(1)

直線 $l_1$ は $ax+y=2a+2$ すなわち $y=-ax+2a+2=-a(x-2)+2$ と書ける。したがって $x=2$ のとき、$a$ の値によらず $y=2$ である。よって求める点は $P(2,2)$ である。

(2)

同様に、$l_2$ も $y=-b(x-2)+2$ と書けるので、$P(2,2)$ を通る。点Pは $2+2=4\ne 0$ より、直線 $l:x+y=0$ 上にはない。

3直線で三角形ができるには、3直線が互いに異なる3つの交点を作ればよい。ここで $l_1$ と $l_2$ はともにPを通るので、$l_1=l_2$ なら三角形はできない。これは $a=b$ のときである。

また、$l_1$ が $l$ と平行なら交点ができず、三角形はできない。直線 $l$ は傾き $-1$、$l_1$ は傾き $-a$ なので、平行となるのは $a=1$ のときである。同様に $l_2$ が $l$ と平行となるのは $b=1$ のときである。

以上より、三角形がつくられるための条件は $a\ne b,a\ne 1,b\ne 1$ である。

(3)

$l_1$ と $l$ の交点をA、$l_2$ と $l$ の交点をBとする。$l$ 上では $y=-x$ であるから、$l_1$ との交点は $ax-x=2a+2$ より $x=\frac{2(a+1)}{a-1}$ である。したがって $A\left(\frac{2(a+1)}{a-1},-\frac{2(a+1)}{a-1}\right)$ である。同様に $B\left(\frac{2(b+1)}{b-1},-\frac{2(b+1)}{b-1}\right)$ である。

三角形の一辺ABは直線 $l$ 上にあり、頂点Pは $x+y=4>0$ をみたす。点 $(1,1)$ も $1+1=2>0$ をみたすので、辺ABに関してはPと同じ側にある。

残りの2辺について調べる。直線 $l_1$ を $F_a(x,y)=ax+y-2a-2=0$ と表す。点 $(1,1)$ が、辺 $l_1$ に関してBと同じ側にあることが必要十分である。計算すると $F_a(1,1)=a+1-2a-2=-a-1$ であり、またBは $l_2$ と $l$ の交点だから $F_a(B)=\frac{4(a-b)}{b-1}$ である。したがって $(-a-1)\cdot \frac{4(a-b)}{b-1}>0$ すなわち $\frac{(a+1)(a-b)}{b-1}<0$ が必要である。

同様に、直線 $l_2$ を $F_b(x,y)=bx+y-2b-2=0$ と表す。点 $(1,1)$ が、辺 $l_2$ に関してAと同じ側にあることから $F_b(1,1)=-b-1,F_b(A)=\frac{4(b-a)}{a-1}$ であり、$(-b-1)\cdot \frac{4(b-a)}{a-1}>0$ すなわち $\frac{(b+1)(a-b)}{a-1}>0$ を得る。

この2つの不等式を、$a,b$ が $-1,1$ を境にどの範囲にあるかで整理する。すると、ちょうど一方だけが $(-1,1)$ に入り、他方は $(-\infty ,-1)$ または $(1,\infty )$ に入るときに成り立つ。

したがって求める範囲は $-1<a<1,b<-1extまたはb>1$ または $-1<b<1,a<-1extまたはa>1$ である。$ab$ 平面では、直線 $a=\pm 1$ と $b=\pm 1$ を境界とする9領域のうち、一方の座標だけが $(-1,1)$ に入る4つの開領域である。境界は内部条件をみたさないので含めない。