問題
を正の実数，とを実数とし，2点，を通る放物線をとおく。上の2点，におけるの接線をそれぞれ，とする。
(1) の値を求め，をで表せ。
(2) との交点の座標をで表せ。
(3) 放物線と接線，で囲まれる図形の面積が1に等しくなるようなの値を求めよ。
出典：北海道大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
(1) は2点P,Qを通る条件を連立して を決める。(2) は導関数からP,Qでの接線を求め、2直線の交点を計算する。(3) は交点を境に、左側では放物線と 、右側では放物線と の差を積分する。接点での接線との差が 、 の平方になることを使うと、上下関係と面積計算が同時に整理できる。
解答
(1)
放物線 が 、 を通るので、 である。2式を引くと より である。これを に代入して となるから である。
(2)
(1)より である。導関数は である。
点Pでの接線 の傾きは であるから、 すなわち である。
点Qでの接線 の傾きは であるから、 すなわち である。
2本の接線は切片が等しいので、交点は のところにあり、座標は である。
(3)
(2)の交点は 上にあるので、囲まれた部分は と に分けて考える。
左側では放物線と の差が
である。 だから、放物線は接線 の上側にある。
右側では放物線と の差が
である。したがって、求める面積Sは である。
それぞれ だから である。これが1に等しいので より である。